Номер 351, страница 165 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

351. Изобразите окружность с центром в точке $O$ и радиусом 3 см. Вне окружности отметьте точку $A$, где $OA = 5$ см. Проведите из точки $A$ касательную к данной окружности. Обозначьте точку касания буквой $B$. Объясните, почему треугольник $AOB$ — прямоугольный. Проведите другую касательную $AC$, где $C$ — точка касания. Объясните, откуда следует, что $AB = AC$. Найдите при помощи теоремы Пифагора длину отрезка $AB$. Проверьте полученный результат измерением.

Для решения задачи выполним построение согласно условию. Изобразим окружность с центром в точке O и радиусом 3 см. Вне окружности отметим точку A так, чтобы расстояние OA было равно 5 см. Из точки A проведем к окружности касательные AB и AC, где B и C — точки касания. Соединим отрезками точки O, A, B и C.

Объясните, почему треугольник АОВ — прямоугольный.

Согласно основному свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, всегда перпендикулярен касательной. В данном случае, AB — это касательная к окружности в точке B, а OB — это радиус, проведенный в эту точку касания.

Из этого свойства следует, что отрезок OB перпендикулярен отрезку AB. Это означает, что угол между ними равен 90°, то есть $\angle OBA = 90^\circ$.

Треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90°), по определению является прямоугольным. Следовательно, треугольник AOB — прямоугольный.

Ответ: Треугольник AOB является прямоугольным, так как радиус OB, проведенный в точку касания B, перпендикулярен касательной AB, образуя прямой угол $\angle OBA = 90^\circ$.

Объясните, откуда следует, что AB = AC.

Для доказательства равенства отрезков касательных AB и AC рассмотрим два треугольника: $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$.

1. Сторона AO является общей для обоих треугольников.

2. Стороны OB и OC равны между собой, так как они обе являются радиусами одной и той же окружности ($OB = OC = 3$ см).

3. Углы $\angle OBA$ и $\angle OCA$ оба являются прямыми ($\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$), поскольку AB и AC — касательные, а OB и OC — радиусы, проведенные в точки касания.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника, $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$, которые равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету). У них общая гипотенуза AO и равные катеты OB и OC.

Поскольку треугольники равны ($\triangle AOB \cong \triangle AOC$), то их соответствующие стороны также равны. Следовательно, катет AB треугольника AOB равен катету AC треугольника AOC.

Ответ: Равенство $AB = AC$ следует из равенства прямоугольных треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$, доказанного по гипотенузе и катету.

Найдите при помощи теоремы Пифагора длину отрезка AB.

В прямоугольном треугольнике AOB ($\angle B = 90^\circ$) сторона OA является гипотенузой, а стороны OB и AB — катетами. Нам известны длины гипотенузы $OA = 5$ см и катета $OB$ (радиус) = 3 см.

По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $OA^2 = OB^2 + AB^2$.

Подставим известные значения в это уравнение:

$5^2 = 3^2 + AB^2$

$25 = 9 + AB^2$

Выразим $AB^2$ из уравнения:

$AB^2 = 25 - 9$

$AB^2 = 16$

Чтобы найти длину AB, извлечем квадратный корень из 16:

$AB = \sqrt{16} = 4$

Ответ: Длина отрезка AB равна 4 см.

Проверьте полученный результат измерением.

Для проверки необходимо выполнить точное построение на бумаге с помощью циркуля и линейки. Начертите окружность радиусом 3 см с центром в точке O. Затем, используя линейку, отложите от центра O отрезок OA длиной 5 см. После этого, из точки A проведите касательную к окружности (для этого можно найти середину отрезка OA и построить на нем как на диаметре вспомогательную окружность; точки пересечения двух окружностей и будут точками касания B и C).

После завершения построения, измерьте длину отрезка AB с помощью линейки. Результат измерения должен с высокой точностью совпасть с вычисленным значением.

Ответ: Измерение построенного отрезка AB с помощью линейки показывает, что его длина составляет 4 см, что подтверждает правильность расчета.