Номер 1, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

1. Найдите значение $x + y$, если $a \parallel b \parallel c \parallel d$.

а) $18, 6, y$

$x, 8, 16$

$a, b, c, d$

б) $x, 9, 4{,}5$

$2, 6, y$

$d, c, b, a$

в) $x, 12, x$

$10, 8$

$y$

$a, b, c$

Для решения всех подпунктов задачи воспользуемся обобщенной теоремой Фалеса (теоремой о пропорциональных отрезках), которая гласит: если параллельные прямые пересекают две произвольные прямые (трансверсали), то они отсекают на них пропорциональные отрезки.

а)

Согласно теореме о пропорциональных отрезках, для двух transversals и параллельных прямых $a, b, c, d$ выполняется соотношение: $ \frac{18}{x} = \frac{6}{8} = \frac{y}{16} $

Сначала найдем значение x из пропорции: $ \frac{18}{x} = \frac{6}{8} $ $ 6 \cdot x = 18 \cdot 8 $ $ x = \frac{18 \cdot 8}{6} $ $ x = 3 \cdot 8 = 24 $

Теперь найдем значение y из пропорции: $ \frac{6}{8} = \frac{y}{16} $ $ 8 \cdot y = 6 \cdot 16 $ $ y = \frac{6 \cdot 16}{8} $ $ y = 6 \cdot 2 = 12 $

Найдем сумму $x + y$: $ x + y = 24 + 12 = 36 $

Ответ: 36

б)

В данном случае горизонтальные прямые $a, b, c, d$ параллельны. По теореме о пропорциональных отрезках: $ \frac{x}{2} = \frac{9}{6} = \frac{4.5}{y} $

Найдем x из пропорции: $ \frac{x}{2} = \frac{9}{6} $ $ 6 \cdot x = 9 \cdot 2 $ $ x = \frac{18}{6} = 3 $

Найдем y из пропорции: $ \frac{9}{6} = \frac{4.5}{y} $ $ 9 \cdot y = 6 \cdot 4.5 $ $ 9y = 27 $ $ y = \frac{27}{9} = 3 $

Найдем сумму $x + y$: $ x + y = 3 + 3 = 6 $

Ответ: 6

в)

В этом случае параллельные прямые $a, b, c$ пересекают три трансверсали: две стороны угла (обозначим их L1 и L2) и верхнюю горизонтальную прямую (обозначим ее L3).

Рассмотрим трансверсали L1 (левая сторона угла) и L3 (верхняя прямая). Пусть они пересекаются в точке P. По теореме о пропорциональных отрезках, отношение отрезков, отсекаемых параллельными прямыми, постоянно.

На прямой L3 отрезки между параллельными прямыми равны 12 (между a и b) и x (между b и c). На прямой L1 соответствующий отрезок между прямыми a и b равен 8. Обозначим отрезок между b и c на L1 как $w$. Составим пропорцию: $ \frac{12}{x} = \frac{8}{w} $, откуда $ w = \frac{8x}{12} = \frac{2x}{3} $.

Рассмотрим отрезки, отсчитываемые от точки пересечения P. На прямой L3 отрезок от P до прямой a равен x. На L1 соответствующий отрезок от P до a обозначим как $z$. Из пропорции $ \frac{z}{x} = \frac{8}{12} $ получаем $ z = \frac{8x}{12} = \frac{2x}{3} $.

Пусть O - вершина угла. На прямой L1 отрезок от O до прямой a равен 10. Точки O и P лежат на одной прямой L1. Единственный способ решить задачу с данными условиями — это предположить, что верхняя прямая L3 проходит через вершину угла O. В этом случае точки P и O совпадают. Тогда отрезок от точки пересечения трансверсалей до прямой a на L1 ($z$) равен отрезку от вершины O до прямой a (10). $ z = 10 $ Подставляем в полученное ранее выражение для $z$: $ \frac{2x}{3} = 10 $ $ 2x = 30 $ $ x = 15 $

Теперь найдем y. Симметрия в данных задачи (отрезки x, 12, x на L3) предполагает симметрию самой фигуры, то есть угол, образованный прямыми L1 и L2, является равнобедренным. Это означает, что соответствующие отрезки на L1 и L2 равны.

Найдем отрезок на L1 между прямыми b и c. Мы уже определили его как $w = \frac{2x}{3}$. Подставив $x=15$, получаем $w = \frac{2 \cdot 15}{3} = 10$. Отрезок y на прямой L2 находится между прямыми b и c. Из-за симметрии он должен быть равен соответствующему отрезку $w$ на прямой L1. $ y = w = 10 $

Найдем сумму $x + y$: $ x + y = 15 + 10 = 25 $

Ответ: 25