Тест 1, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

По данным на рисунке докажите, что $AB \parallel CD$.

Дано:

Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

В треугольнике $\triangle AOB$ известны стороны: $AO = 4$, $BO = 3$.

В треугольнике $\triangle DOC$ известны стороны: $CO = 8$, $DO = 6$.

Доказать:

$AB \parallel CD$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$. Угол $\angle AOB$ и угол $\angle DOC$ являются вертикальными, а значит, они равны по свойству вертикальных углов: $\angle AOB = \angle DOC$.

2. Проверим, пропорциональны ли стороны, прилежащие к этим равным углам. Для этого найдем отношения длин соответствующих сторон:

Отношение стороны $AO$ к стороне $CO$: $\frac{AO}{CO} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Отношение стороны $BO$ к стороне $DO$: $\frac{BO}{DO} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

3. Так как отношения сторон равны ($\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO}$), то две стороны треугольника $\triangle AOB$ пропорциональны двум сторонам треугольника $\triangle DOC$.

4. Поскольку две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

5. Из подобия треугольников ($\triangle AOB \sim \triangle DOC$) следует равенство их соответственных углов. В частности, угол $\angle OAB$ равен соответственному ему углу $\angle OCD$.

6. Углы $\angle OAB$ и $\angle OCD$ являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$.

7. Согласно признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Так как $\angle OAB = \angle OCD$, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AB \parallel CD$.