Тест 3, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 3

$S_{AOD} = 16 \text{ см}^2$. Найдите площадь трапеции $ABCD$.

а) $24 \text{ см}^2$;

б) $28 \text{ см}^2$;

в) $32 \text{ см}^2$;

г) $36 \text{ см}^2$.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Из условия и чертежа мы знаем, что длина основания $BC = 4$, длина основания $AD = 8$, а площадь треугольника $AOD$ составляет $S_{AOD} = 16 \text{ см}^2$. Необходимо найти площадь трапеции $ABCD$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. Так как $BC \parallel AD$ (основания трапеции), то эти треугольники подобны по двум углам:

• $\angle CAD = \angle ACB$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
• $\angle BDA = \angle DBC$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$.

2. Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению их соответственных сторон (оснований):

$k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{COB}}{S_{AOD}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда можем найти площадь треугольника $COB$:

$S_{COB} = S_{AOD} \cdot \frac{1}{4} = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4 \text{ см}^2$

4. В любой трапеции площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны. То есть, $S_{ABO} = S_{CDO}$. Это следует из того, что площади треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равны, так как у них общее основание $AD$ и одинаковая высота (высота трапеции). Если из этих равных площадей вычесть площадь общего треугольника $AOD$, то получим:

$S_{ABD} - S_{AOD} = S_{ACD} - S_{AOD} \implies S_{ABO} = S_{CDO}$

5. Также для площадей этих четырех треугольников верно соотношение: $S_{ABO} \cdot S_{CDO} = S_{AOD} \cdot S_{COB}$. Подставив известные значения и учитывая, что $S_{ABO} = S_{CDO}$, получаем:

$S_{ABO}^2 = S_{AOD} \cdot S_{COB} = 16 \cdot 4 = 64$

$S_{ABO} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}^2$

Следовательно, $S_{ABO} = S_{CDO} = 8 \text{ см}^2$.

6. Площадь всей трапеции $ABCD$ равна сумме площадей четырех треугольников, на которые ее разбивают диагонали:

$S_{ABCD} = S_{AOD} + S_{COB} + S_{ABO} + S_{CDO}$

$S_{ABCD} = 16 + 4 + 8 + 8 = 36 \text{ см}^2$

Можно также воспользоваться формулой для площади трапеции через площади треугольников, прилежащих к основаниям ($S_1 = S_{AOD}$ и $S_2 = S_{COB}$):

$S_{ABCD} = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2 = (\sqrt{16} + \sqrt{4})^2 = (4 + 2)^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2$

Ответ: г) 36 см².