Номер 348, страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

348. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Пусть $M$ — середина основания $BC$, а $N$ — середина основания $AD$. По условию, диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, и их длины равны $AC = 6$ и $BD = 8$.

Для решения задачи воспользуемся дополнительным построением. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $K$.

Рассмотрим четырехугольник $BDKC$. В нем сторона $BC$ параллельна $DK$ (так как они лежат на прямых, содержащих основания трапеции), а сторона $BD$ параллельна $CK$ по построению. Следовательно, четырехугольник $BDKC$ является параллелограммом.

Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны. Таким образом, $CK = BD = 8$ и $DK = BC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACK$. По условию задачи диагонали трапеции перпендикулярны: $AC \perp BD$. Так как мы построили $CK \parallel BD$, то из этого следует, что $AC \perp CK$. Это означает, что треугольник $ACK$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $C$.

В прямоугольном треугольнике $ACK$ нам известны длины катетов: $AC = 6$ и $CK = 8$. Мы можем найти длину гипотенузы $AK$ по теореме Пифагора:$AK^2 = AC^2 + CK^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Отсюда $AK = \sqrt{100} = 10$.

Длина отрезка $AK$ складывается из длин отрезков $AD$ и $DK$: $AK = AD + DK$. Поскольку $DK = BC$, мы можем записать: $AK = AD + BC$. Таким образом, сумма длин оснований трапеции равна $AD + BC = 10$.

Длина отрезка $MN$, соединяющего середины оснований, в трапеции с перпендикулярными диагоналями равна полусумме оснований. Докажем это. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Треугольники $BOC$ и $AOD$ являются прямоугольными, так как $AC \perp BD$. В прямоугольном треугольнике $BOC$ отрезок $OM$ является медианой, проведенной к гипотенузе $BC$. Следовательно, $OM = \frac{1}{2} BC$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $AOD$ отрезок $ON$ является медианой к гипотенузе $AD$, и $ON = \frac{1}{2} AD$. Точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой (это свойство любой трапеции). Значит, длина отрезка $MN$ равна сумме длин $OM$ и $ON$:$MN = OM + ON = \frac{1}{2} BC + \frac{1}{2} AD = \frac{BC + AD}{2}$.

Мы нашли, что сумма оснований $AD + BC = 10$. Подставив это значение в полученную формулу, находим длину отрезка $MN$:$MN = \frac{10}{2} = 5$.

Ответ: 5