Номер 347, страница 155 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

347. В трапеции $ABCD$ основания $AD = 20$, $BC = 12$, $\angle A = 65^\circ$, $\angle D = 25^\circ$. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи имеем:

• Длина большего основания $AD = 20$.
• Длина меньшего основания $BC = 12$.
• Угол при основании $AD$: $\angle A = 65^\circ$.
• Угол при основании $AD$: $\angle D = 25^\circ$.

Нужно найти длину отрезка, соединяющего середины оснований. Обозначим середину основания $BC$ как точку $N$, а середину основания $AD$ как точку $M$. Требуется найти длину отрезка $MN$.

Решение

1. Выполним дополнительное построение: продлим боковые стороны трапеции $AB$ и $DC$ до их пересечения в точке $P$.

2. Так как основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), то треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD$ ($\triangle PBC \sim \triangle PAD$). Углы при основании треугольника $PAD$ равны соответствующим углам трапеции: $\angle PAD = \angle A = 65^\circ$ и $\angle PDA = \angle D = 25^\circ$.

3. Найдем угол при вершине $P$ в треугольнике $PAD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle P = 180^\circ - (\angle PAD + \angle PDA) = 180^\circ - (65^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $PAD$ является прямоугольным, а его гипотенузой является основание трапеции $AD$.

4. В прямоугольном треугольнике $PAD$ отрезок $PM$ соединяет вершину прямого угла $P$ с серединой гипотенузы $AD$ (точкой $M$). Следовательно, $PM$ — это медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, ее длина равна половине длины гипотенузы:

$PM = \frac{1}{2} AD = \frac{20}{2} = 10$.

5. Поскольку $\triangle PBC \sim \triangle PAD$, треугольник $PBC$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$. Отрезок $PN$ является медианой, проведенной к гипотенузе $BC$. Его длина также равна половине длины гипотенузы:

$PN = \frac{1}{2} BC = \frac{12}{2} = 6$.

6. В подобных треугольниках медианы, проведенные из соответственных вершин, лежат на одной прямой. Таким образом, точки $P$, $N$ и $M$ коллинеарны. Искомая длина отрезка $MN$ равна разности длин отрезков $PM$ и $PN$.

$MN = PM - PN = 10 - 6 = 4$.

Ответ: 4.