Номер 343, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

343. Разделите при помощи циркуля и линейки данный треугольник на две равновеликие части прямой, параллельной его стороне.

Для решения задачи необходимо выполнить анализ, построение и доказательство.

Анализ

Пусть дан треугольник $ABC$. Требуется построить прямую $MN$, параллельную стороне $AC$ (где точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $N$ — на стороне $BC$), которая делит треугольник $ABC$ на две равновеликие фигуры. Это означает, что площадь отсекаемого треугольника $MBN$ должна быть равна площади оставшейся трапеции $AMNC$. Следовательно, площадь треугольника $MBN$ должна составлять ровно половину площади исходного треугольника $ABC$:$S_{\triangle MBN} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$.

Поскольку по условию прямая $MN$ параллельна $AC$, то треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия в данном случае равен отношению соответственных сторон:$k = \frac{BN}{BC} = \frac{BM}{BA}$.

Таким образом, отношение площадей можно записать как:$\frac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = \left(\frac{BN}{BC}\right)^2$.

Из условия, что площадь $\triangle MBN$ составляет половину площади $\triangle ABC$, получаем:$k^2 = \frac{1}{2}$, откуда $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Следовательно, для построения искомой прямой нам нужно найти на стороне $BC$ такую точку $N$, чтобы выполнялось соотношение $BN = \frac{BC}{\sqrt{2}}$. Задача сводится к построению отрезка такой длины с помощью циркуля и линейки.

Построение

Алгоритм построения искомой прямой $MN$ для треугольника $ABC$ (параллельно стороне $AC$):

1. Выберем сторону треугольника, например $BC$. На этой стороне как на катете построим вспомогательный прямоугольный равнобедренный треугольник $BCK$. Для этого:
   1. В вершине $C$ с помощью циркуля и линейки строим прямую, перпендикулярную стороне $BC$.
   2. На этой перпендикулярной прямой откладываем отрезок $CK$, равный по длине стороне $BC$ (измеряем $BC$ циркулем и делаем засечку из точки $C$).
   3. Соединяем точки $B$ и $K$ отрезком. Треугольник $BCK$ — прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$) и равнобедренный ($BC=CK$).
2. В построенном треугольнике $BCK$ по теореме Пифагора гипотенуза $BK$ имеет длину $BK = \sqrt{BC^2 + CK^2} = \sqrt{BC^2 + BC^2} = \sqrt{2BC^2} = BC\sqrt{2}$.
3. Находим середину гипотенузы $BK$. Обозначим эту точку как $L$. Построение середины отрезка — стандартная задача, выполняемая с помощью циркуля и линейки (построение серединного перпендикуляра).
4. Длина отрезка $BL$ (или $LK$) равна половине длины гипотенузы $BK$, то есть $BL = \frac{1}{2}BK = \frac{BC\sqrt{2}}{2} = \frac{BC}{\sqrt{2}}$. Таким образом, мы получили отрезок искомой длины.
5. С помощью циркуля переносим длину отрезка $BL$ на сторону $BC$ исходного треугольника, откладывая ее от вершины $B$. Для этого устанавливаем раствор циркуля равным $BL$, ставим острие в точку $B$ и делаем засечку на стороне $BC$. Обозначим эту точку $N$. Таким образом, мы построили точку $N$ на $BC$ так, что $BN = \frac{BC}{\sqrt{2}}$.
6. Последний шаг — построение прямой, проходящей через точку $N$ параллельно стороне $AC$. Это также стандартное построение (например, методом копирования угла $\angle BCA$ в точке $N$). Эта прямая пересечет сторону $AB$ в точке $M$.

Полученная прямая $MN$ является искомой.

Доказательство

По построению прямая $MN$ параллельна стороне $AC$. Следовательно, треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению $k = \frac{BN}{BC}$.

Из шага 5 построения мы знаем, что $BN = \frac{BC}{\sqrt{2}}$. Подставим это в формулу для коэффициента подобия:$k = \frac{BC/\sqrt{2}}{BC} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:$\frac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$.

Отсюда следует, что $S_{\triangle MBN} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$.

Площадь второй части, трапеции $AMNC$, равна разности площадей:$S_{AMNC} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle MBN} = S_{\triangle ABC} - \frac{1}{2}S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$.

Таким образом, $S_{\triangle MBN} = S_{AMNC}$, что и доказывает, что прямая $MN$ делит треугольник $ABC$ на две равновеликие части.

Исследование

Задача всегда имеет решение для любого заданного треугольника. Построение можно выполнить для любой из трех сторон треугольника (то есть, можно было строить прямую, параллельную $AB$ или $BC$). Для каждой выбранной стороны существует только одна такая прямая, делящая площадь треугольника пополам.

Ответ: Построение прямой, делящей треугольник на две равновеликие части, подробно описано и доказано выше.