Номер 339, страница 149 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

339. В параллелограмме $ABCD$ проведен отрезок $DM$ (рис. 306), который пересекает диагональ $AC$ в точке $K$. Известно, что $S_{MCK} = 4 \text{ см}^2$, $S_{DKA} = 9 \text{ см}^2$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.

Рис. 306

Рассмотрим треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CMK$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

1. Углы $\angle DAK$ и $\angle MCK$ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.

2. Углы $\angle AKD$ и $\angle CKM$ равны как вертикальные.

Из этого следует, что треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CMK$ подобны по двум углам ($\triangle ADK \sim \triangle CMK$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:

$\frac{S_{ADK}}{S_{CMK}} = k^2$

Подставим известные значения площадей $S_{ADK} = 9 \text{ см}^2$ и $S_{CMK} = 4 \text{ см}^2$:

$k^2 = \frac{9}{4}$

Отсюда коэффициент подобия равен $k = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Отношение соответственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия. В частности, отношение сторон $AK$ и $CK$:

$\frac{AK}{CK} = k = \frac{3}{2}$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CDK$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $D$ к прямой $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований $AK$ и $CK$.

$\frac{S_{ADK}}{S_{CDK}} = \frac{AK}{CK} = \frac{3}{2}$

Выразим площадь треугольника $\triangle CDK$:

$S_{CDK} = S_{ADK} \cdot \frac{CK}{AK} = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6 \text{ см}^2$.

Площадь треугольника $\triangle ADC$ является суммой площадей треугольников $\triangle ADK$ и $\triangle CDK$:

$S_{ADC} = S_{ADK} + S_{CDK} = 9 + 6 = 15 \text{ см}^2$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равновеликих треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Таким образом, площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника $\triangle ADC$.

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ADC} = 2 \cdot 15 = 30 \text{ см}^2$.

Ответ: $30 \text{ см}^2$.