Номер 335, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

335. a) В трапеции ABCD (рис. 302) $BC = \frac{1}{3}AD$, $S_1 + S_2 = 60$ см$^2$. Найдите площадь $S$ трапеции ABCD.

б) Выведите формулу зависимости площади $S$ трапеции ABCD от площадей $S_1$ и $S_2$ (см. рис. 302).

Рис. 302

а)

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$, образованные пересечением диагоналей трапеции. Поскольку $ABCD$ — трапеция, её основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

1. Углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ равны как вертикальные.
2. Углы $\angle OCB$ и $\angle OAD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.
3. Углы $\angle OBC$ и $\angle ODA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.

Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ подобны по трём углам (или по двум углам).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин их соответственных сторон:$k = \frac{BC}{AD}$По условию задачи, $BC = \frac{1}{3}AD$, значит, $k = \frac{1}{3}$.

Отношение площадей $S_1$ (площадь $\triangle BOC$) и $S_2$ (площадь $\triangle AOD$) равно:$\frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$Из этого соотношения выразим $S_2$: $S_2 = 9S_1$.

В условии также дано, что $S_1 + S_2 = 60 \text{ см}^2$. Подставим в это уравнение найденное выражение для $S_2$:$S_1 + 9S_1 = 60$$10S_1 = 60$$S_1 = 6 \text{ см}^2$

Теперь найдем площадь $S_2$:$S_2 = 9S_1 = 9 \cdot 6 = 54 \text{ см}^2$

Площадь всей трапеции $S_{ABCD}$ складывается из площадей четырёх треугольников, на которые её разбивают диагонали: $S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{AOD} + S_{ABO} + S_{CDO}$.$S_{ABCD} = S_1 + S_2 + S_{ABO} + S_{CDO}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. У них общее основание $AD$ и равные высоты (высота трапеции), так как их вершины $B$ и $C$ лежат на прямой $BC$, параллельной $AD$. Следовательно, их площади равны:$S_{ABD} = S_{ACD}$$S_{ABO} + S_{AOD} = S_{CDO} + S_{AOD}$$S_{ABO} = S_{CDO}$

Теперь докажем, что площадь каждого из этих боковых треугольников равна среднему геометрическому площадей $S_1$ и $S_2$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$. У них общая высота, проведенная из вершины $B$ к прямой $AC$. Значит, отношение их площадей равно отношению их оснований:$\frac{S_{ABO}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC}$Аналогично для треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle COD$, имеющих общую высоту из вершины $D$ к прямой $AC$:$\frac{S_{AOD}}{S_{CDO}} = \frac{AO}{OC}$

Приравнивая эти отношения, получаем:$\frac{S_{ABO}}{S_{BOC}} = \frac{S_{AOD}}{S_{CDO}}$Подставляя $S_1$, $S_2$ и используя равенство $S_{ABO} = S_{CDO}$:$\frac{S_{ABO}}{S_1} = \frac{S_2}{S_{ABO}} \implies (S_{ABO})^2 = S_1 \cdot S_2$$S_{ABO} = \sqrt{S_1 \cdot S_2} = \sqrt{6 \cdot 54} = \sqrt{324} = 18 \text{ см}^2$

Таким образом, $S_{ABO} = S_{CDO} = 18 \text{ см}^2$. Теперь мы можем найти общую площадь трапеции:$S_{ABCD} = S_1 + S_2 + S_{ABO} + S_{CDO} = 6 + 54 + 18 + 18 = 96 \text{ см}^2$

Ответ: $96 \text{ см}^2$

б)

Пусть $S$ — площадь трапеции $ABCD$. Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника. Обозначим их площади: $S_{BOC} = S_1$, $S_{AOD} = S_2$, $S_{ABO}$ и $S_{CDO}$. Полная площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников:$S = S_1 + S_2 + S_{ABO} + S_{CDO}$

Как было доказано в пункте а), площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны:$S_{ABO} = S_{CDO}$Это следует из того, что треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ имеют равные площади (общее основание $AD$ и одинаковая высота), а $\triangle AOD$ является их общей частью.

Также было установлено, что площадь бокового треугольника является средним геометрическим площадей треугольников, прилежащих к основаниям:$(S_{ABO})^2 = S_1 \cdot S_2 \implies S_{ABO} = \sqrt{S_1 S_2}$Это следует из равенства отношений площадей треугольников с общей высотой:$\frac{S_{ABO}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC}$ и $\frac{S_{AOD}}{S_{CDO}} = \frac{AO}{OC}$Отсюда $\frac{S_{ABO}}{S_1} = \frac{S_2}{S_{CDO}}$. Учитывая, что $S_{ABO} = S_{CDO}$, получаем $(S_{ABO})^2 = S_1S_2$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу для полной площади трапеции $S$:$S = S_1 + S_2 + S_{ABO} + S_{CDO} = S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2} + \sqrt{S_1 S_2}$$S = S_1 + S_2 + 2\sqrt{S_1 S_2}$

Полученное выражение является формулой полного квадрата суммы. Его можно свернуть:$S = (\sqrt{S_1})^2 + 2\sqrt{S_1}\sqrt{S_2} + (\sqrt{S_2})^2 = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$Таким образом, формула зависимости площади трапеции $S$ от площадей $S_1$ и $S_2$ имеет вид:$S = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$

Ответ: $S = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$