Номер 333, страница 148 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

333. Площадь трапеции $AMKC$ (рис. 300) равна $80 \text{ м}^2$, $AM : MB = 4 : 3$.

Найдите площадь треугольника $MBK$.

Рис. 300

Поскольку четырехугольник $AMKC$ является трапецией, его основания $MK$ и $AC$ параллельны ($MK \parallel AC$). Следовательно, треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам: угол $B$ у них общий, а углы $\angle BMK$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$.

Найдем коэффициент подобия $k$ этих треугольников. По условию задачи дано отношение $AM : MB = 4 : 3$. Мы можем обозначить длины этих отрезков как $AM = 4x$ и $MB = 3x$ для некоторой положительной величины $x$. Тогда длина всей стороны $AB$ будет равна $AM + MB = 4x + 3x = 7x$.

Коэффициент подобия равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{MB}{AB} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия: $\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{9}{49}$

Площадь трапеции $AMKC$ представляет собой разность площадей треугольников $ABC$ и $MBK$: $S_{AMKC} = S_{ABC} - S_{MBK}$

Из соотношения площадей выразим $S_{ABC}$ через $S_{MBK}$: $S_{ABC} = \frac{49}{9} S_{MBK}$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади трапеции, используя известное значение $S_{AMKC} = 80$ м²: $80 = \frac{49}{9} S_{MBK} - S_{MBK}$

Вынесем $S_{MBK}$ за скобки и решим уравнение: $80 = S_{MBK} \left(\frac{49}{9} - 1\right)$ $80 = S_{MBK} \left(\frac{49 - 9}{9}\right)$ $80 = S_{MBK} \cdot \frac{40}{9}$

Отсюда находим искомую площадь треугольника $MBK$: $S_{MBK} = 80 \cdot \frac{9}{40} = 2 \cdot 9 = 18$ м².

Ответ: $18$ м².