Номер 327, страница 147 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

327. Для $\triangle ABC$ и $\triangle A_1 B_1 C_1$ выполняется $\frac{AB}{A_1 B_1} = \frac{BC}{B_1 C_1} = \frac{AC}{A_1 C_1} = 1,5$, $S_{ABC} = 90 \text{ см}^2$. Найдите $S_{A_1 B_1 C_1}$.

Согласно условию задачи, для треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ справедливо равенство отношений их соответствующих сторон: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = 1,5 $.

Это означает, что треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ подобны по третьему признаку подобия треугольников (по трем сторонам). Коэффициент подобия $ k $ равен значению этого отношения: $ k = 1,5 $.

Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Математически это выражается формулой: $ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 $.

В задаче даны площадь треугольника $ ABC $, равная $ S_{ABC} = 90 \text{ см}^2 $, и коэффициент подобия $ k = 1,5 $. Подставим эти значения в формулу: $ \frac{90}{S_{A_1B_1C_1}} = (1,5)^2 $.

Сначала вычислим квадрат коэффициента подобия: $ k^2 = (1,5)^2 = 2,25 $.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $ A_1B_1C_1 $: $ S_{A_1B_1C_1} = \frac{S_{ABC}}{k^2} = \frac{90}{2,25} $.

Для удобства вычислений можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $ 2,25 = \frac{225}{100} = \frac{9}{4} $. $ S_{A_1B_1C_1} = \frac{90}{\frac{9}{4}} = 90 \cdot \frac{4}{9} = \frac{90 \cdot 4}{9} = 10 \cdot 4 = 40 $.

Следовательно, площадь треугольника $ A_1B_1C_1 $ составляет $ 40 \text{ см}^2 $.

Ответ: $ S_{A_1B_1C_1} = 40 \text{ см}^2 $.