Номер 322, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

322. Найдите длину биссектрисы $AK$ прямоугольного треугольника $ABC$, если катет $AC = 6$ см, гипотенуза $AB = 10$ см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$. Так как $AB$ является гипотенузой, прямой угол в треугольнике — это угол $C$, то есть $\angle C = 90^\circ$. Катетами являются стороны $AC$ и $BC$.

По условию задачи нам даны длины катета $AC$ и гипотенузы $AB$:
$AC = 6$ см
$AB = 10$ см

1. Найдем длину второго катета $BC$, используя теорему Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2$: $BC^2 = AB^2 - AC^2$
$BC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
$BC = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса $AK$ делит противолежащую сторону $BC$ на отрезки $CK$ и $KB$, пропорциональные прилежащим сторонам $AC$ и $AB$: $\frac{CK}{KB} = \frac{AC}{AB}$

Подставим известные значения: $\frac{CK}{KB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Мы знаем, что $CK + KB = BC = 8$ см. Обозначим длину отрезка $CK$ как $x$. Тогда $KB = 8 - x$. Подставим это в пропорцию: $\frac{x}{8-x} = \frac{3}{5}$

Решим уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$5x = 3(8 - x)$
$5x = 24 - 3x$
$8x = 24$
$x = 3$ см.
Таким образом, длина отрезка $CK = 3$ см.

3. Найдем длину биссектрисы $AK$. Рассмотрим треугольник $ACK$. Он является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$. Мы знаем длины его катетов: $AC = 6$ см и $CK = 3$ см. Найдем гипотенузу $AK$ по теореме Пифагора: $AK^2 = AC^2 + CK^2$
$AK^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$
$AK = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.