Номер 317, страница 142 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

317. Основания трапеции $ABCD$ равны $AD = a$ см и $BC = b$ см. Отрезок $KM$ проходит через точку $O$ пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, его концы лежат на боковых сторонах трапеции. Докажите, что $KM = \frac{2ab}{a+b}$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = a$ и $BC = b$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Через точку $O$ проведена прямая $KM$, параллельная основаниям $AD$ и $BC$, где точка $K$ лежит на боковой стороне $AB$, а точка $M$ — на боковой стороне $CD$. Отрезок $KM$ состоит из двух частей: $KO$ и $OM$. Таким образом, $KM = KO + OM$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), эти треугольники подобны по трем углам: $\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные; $\angle OCB = \angle OAD$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$, $AD$ и секущей $AC$; $\angle OBC = \angle ODA$ как накрест лежащие при тех же параллельных прямых и секущей $BD$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD} = \frac{b}{a} $$

Теперь найдем длину отрезка $KO$. Рассмотрим $\triangle ABD$. Так как $KO \parallel AD$ по условию, то $\triangle KBO$ подобен $\triangle ABD$ по двум углам: $\angle B$ является общим, а $\angle BKO = \angle BAD$ являются соответственными углами при параллельных прямых $KO$, $AD$ и секущей $AB$.

Из подобия $\triangle KBO$ и $\triangle ABD$ следует соотношение: $$ \frac{KO}{AD} = \frac{BO}{BD} \implies KO = AD \cdot \frac{BO}{BD} = a \cdot \frac{BO}{BD} $$

Выразим отношение $\frac{BO}{BD}$. Из пропорции $\frac{BO}{DO} = \frac{b}{a}$ найдем $DO = \frac{a}{b}BO$. Весь отрезок $BD = BO + DO$. Подставим выражение для $DO$: $$ BD = BO + \frac{a}{b}BO = BO \left(1 + \frac{a}{b}\right) = BO \frac{a+b}{b} $$ Отсюда находим искомое отношение: $$ \frac{BO}{BD} = \frac{BO}{BO \frac{a+b}{b}} = \frac{b}{a+b} $$ Подставив это отношение в формулу для $KO$, получаем: $$ KO = a \cdot \frac{b}{a+b} = \frac{ab}{a+b} $$

Аналогично найдем длину отрезка $OM$. Рассмотрим $\triangle ACD$. Так как $OM \parallel AD$, то $\triangle CMO$ подобен $\triangle CDA$ по двум углам: $\angle C$ является общим, а $\angle CMO = \angle CDA$ являются соответственными углами при параллельных прямых $OM$, $AD$ и секущей $CD$.

Из подобия следует: $$ \frac{OM}{AD} = \frac{CO}{CA} \implies OM = AD \cdot \frac{CO}{CA} = a \cdot \frac{CO}{CA} $$

Выразим отношение $\frac{CO}{CA}$. Из пропорции $\frac{CO}{AO} = \frac{b}{a}$ найдем $AO = \frac{a}{b}CO$. Весь отрезок $CA = CO + AO$. Подставим выражение для $AO$: $$ CA = CO + \frac{a}{b}CO = CO \left(1 + \frac{a}{b}\right) = CO \frac{a+b}{b} $$ Отсюда: $$ \frac{CO}{CA} = \frac{CO}{CO \frac{a+b}{b}} = \frac{b}{a+b} $$ Подставив это отношение в формулу для $OM$, получаем: $$ OM = a \cdot \frac{b}{a+b} = \frac{ab}{a+b} $$

Теперь мы можем найти длину всего отрезка $KM$, сложив длины его частей $KO$ и $OM$: $$ KM = KO + OM = \frac{ab}{a+b} + \frac{ab}{a+b} = \frac{2ab}{a+b} $$ Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.