Номер 310, страница 141 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

310. По размерам, данным на рисунках 285, а), б), найдите:

а) высоту $CH$;

б) отрезок $AK$ (проекцию катета $AC$ на гипотенузу $AB$).

Рис. 285

а)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. CH — это высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу AB.

В прямоугольном треугольнике существует метрическое соотношение, согласно которому высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков, на которые она делит гипотенузу. Эти отрезки, AH и HB, являются проекциями катетов на гипотенузу.

Формула этого соотношения:

$CH^2 = AH \cdot HB$

Согласно данным на рисунке а), мы имеем:

$AH = 9$

$HB = 4$

Высота CH обозначена как $x$. Подставим известные значения в формулу:

$x^2 = 9 \cdot 4$

$x^2 = 36$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из 36. Поскольку длина отрезка может быть только положительным числом, получаем:

$x = \sqrt{36} = 6$

Следовательно, высота CH равна 6.

Ответ: 6.

б)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. CK — это высота, опущенная на гипотенузу AB. Отрезок AK является проекцией катета AC на гипотенузу, а отрезок KB — проекцией катета BC на гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике действует другое метрическое соотношение: квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Для катета AC формула выглядит так:

$AC^2 = AB \cdot AK$

Из данных на рисунке б) нам известно:

• длина катета $AC = 15$;
• длина проекции второго катета $KB = 16$;
• длину проекции $AK$ нужно найти, она обозначена как $x$.

Длина гипотенузы AB является суммой длин ее частей, AK и KB:

$AB = AK + KB = x + 16$

Теперь подставим все известные и выраженные величины в формулу для катета AC:

$15^2 = (x + 16) \cdot x$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$225 = x^2 + 16x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 16x - 225 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу для нахождения корней:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В нашем случае, $a=1$, $b=16$, $c=-225$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-225) = 256 + 900 = 1156$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{1156} = 34$.

Теперь найдем два возможных корня для $x$:

$x_1 = \frac{-16 + 34}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-16 - 34}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Так как $x$ представляет собой длину отрезка AK, его значение не может быть отрицательным. Поэтому мы выбираем положительный корень.

$x = 9$

Таким образом, длина отрезка AK равна 9.

Ответ: 9.