Номер 303, страница 140 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

303. Даны треугольники $ABC$ и $MNK$ (рис. 280). По размерам на рисунке найдите площадь треугольника $MNK$ (все размеры даны в сантиметрах).

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNK$.

Согласно данным на рисунке, угол $A$ треугольника $ABC$ равен углу $M$ треугольника $MNK$ (оба отмечены двумя дугами), а угол $C$ треугольника $ABC$ равен углу $K$ треугольника $MNK$ (оба отмечены одной дугой).

$∠A = ∠M$
$∠C = ∠K$

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, такие треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Следовательно, $∆ABC \sim ∆MNK$.

В подобных треугольниках отношение соответственных сторон равно коэффициенту подобия $k$. Стороны $AC$ и $MK$ являются соответственными, так как они лежат напротив углов $B$ и $N$, а углы, прилежащие к ним, попарно равны.

Найдем коэффициент подобия:
$k = \frac{MK}{AC} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

Отношение соответственных высот в подобных треугольниках также равно коэффициенту подобия. Высота $BH$ в $∆ABC$ проведена к стороне $AC$, а высота $NE$ в $∆MNK$ — к стороне $MK$. Так как $AC$ и $MK$ — соответственные стороны, то $BH$ и $NE$ являются соответственными высотами.

$\frac{NE}{BH} = k$
Подставим известные значения:
$\frac{NE}{9} = \frac{4}{3}$
$NE = 9 \cdot \frac{4}{3} = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Теперь можем найти площадь треугольника $MNK$. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.
$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot NE$
$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96$ см².

Ответ: 96 см².