Номер 305, страница 140 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

305. На рисунке 281 $\angle KMC = \angle ABC$, $AM = 4$ см, $MC = 6$ см, $KC = 5$ см. Найдите длину отрезка $BK$.

Рис. 281

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle KMC $.

1. Угол $ \angle C $ является общим для обоих треугольников.
2. По условию задачи $ \angle ABC = \angle KMC $.

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Следовательно, $ \triangle ABC \sim \triangle KMC $.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон. Соответствующими являются стороны, лежащие напротив равных углов. Запишем соотношение для сторон, лежащих напротив углов $ \angle ABC $ и $ \angle BAC $ и соответствующих им равных углов $ \angle KMC $ и $ \angle MKC $: $ \frac{AC}{KC} = \frac{BC}{MC} $

Найдем длину стороны $ AC $. По данным из условия, $ AM = 4 $ см и $ MC = 6 $ см.
$ AC = AM + MC = 4 + 6 = 10 $ см.

Сторона $ BC $ состоит из двух отрезков $ BK $ и $ KC $.
$ BC = BK + KC = BK + 5 $ см.

Подставим известные значения в пропорцию:
$ \frac{10}{5} = \frac{BK + 5}{6} $

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $ BK $:
$ 2 = \frac{BK + 5}{6} $
$ 12 = BK + 5 $
$ BK = 12 - 5 $
$ BK = 7 $ см.

Ответ: 7 см.