Номер 309, страница 140 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

309. Изобразите прямоугольный треугольник ABC ($ \angle C = 90^\circ $), проведите высоту CH. Укажите все пары полученных подобных треугольников и для каждой пары запишите отношение соответствующих сторон.

Изобразим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$) и проведем из этой вершины высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. По определению высоты, $CH \perp AB$, следовательно, $\angle AHC = \angle BHC = 90^\circ$. Высота $CH$ делит исходный треугольник на два новых прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$.

Найдем углы в полученных треугольниках, чтобы доказать их подобие. Пусть $\angle A = \alpha$.

• В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = \alpha$, следовательно $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha$.
• В $\triangle ACH$: $\angle AHC = 90^\circ$, $\angle A = \alpha$, следовательно $\angle ACH = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha$.
• В $\triangle CBH$: $\angle BHC = 90^\circ$, $\angle B = 90^\circ - \alpha$, следовательно $\angle BCH = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

Все три треугольника ($\triangle ABC$, $\triangle ACH$, $\triangle CBH$) имеют одинаковый набор углов ($\alpha, 90^\circ - \alpha, 90^\circ$), а значит, они все подобны друг другу. Это дает нам три пары подобных треугольников.

1. Пара треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ACH$

У этих треугольников $\angle A$ — общий, а $\angle ACB = \angle AHC = 90^\circ$. Следовательно, они подобны по двум углам. Соответствие вершин (исходя из равенства углов): вершине $A$ из $\triangle ABC$ соответствует вершина $A$ из $\triangle ACH$; вершине $B$ ($\angle B=90^\circ - \alpha$) соответствует вершина $C$ ($\angle ACH=90^\circ - \alpha$); вершине $C$ ($\angle C=90^\circ$) соответствует вершина $H$ ($\angle AHC=90^\circ$). Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle ACH$. Отношение соответствующих сторон (сторона, лежащая напротив равного угла) будет следующим:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CH} = \frac{AC}{AH}$

Ответ: $\triangle ABC \sim \triangle ACH$; отношение сторон: $\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CH} = \frac{AC}{AH}$.

2. Пара треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CBH$

У этих треугольников $\angle B$ — общий, а $\angle ACB = \angle CHB = 90^\circ$. Следовательно, они подобны по двум углам. Соответствие вершин: вершине $A$ из $\triangle ABC$ ($\angle A=\alpha$) соответствует вершина $C$ из $\triangle CBH$ ($\angle BCH=\alpha$); вершине $B$ соответствует вершина $B$; вершине $C$ ($\angle C=90^\circ$) соответствует вершина $H$ ($\angle CHB=90^\circ$). Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle CBH$. Отношение соответствующих сторон:

$\frac{AB}{CB} = \frac{AC}{CH} = \frac{BC}{BH}$

Ответ: $\triangle ABC \sim \triangle CBH$; отношение сторон: $\frac{AB}{CB} = \frac{AC}{CH} = \frac{BC}{BH}$.

3. Пара треугольников $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$

Поскольку оба эти треугольника подобны $\triangle ABC$, они подобны и друг другу. Установим соответствие вершин напрямую: $\angle A$ из $\triangle ACH$ ($\angle A=\alpha$) равен $\angle BCH$ из $\triangle CBH$ ($\angle BCH=\alpha$); $\angle ACH$ из $\triangle ACH$ ($\angle ACH=90^\circ-\alpha$) равен $\angle B$ из $\triangle CBH$ ($\angle B=90^\circ-\alpha$); прямые углы при вершине $H$ равны. Таким образом, $\triangle ACH \sim \triangle CBH$. Отношение соответствующих сторон:

$\frac{AC}{CB} = \frac{CH}{BH} = \frac{AH}{CH}$

Ответ: $\triangle ACH \sim \triangle CBH$; отношение сторон: $\frac{AC}{CB} = \frac{CH}{BH} = \frac{AH}{CH}$.