Номер 307, страница 140 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

307. $ABCD$ — трапеция (рис. 283), $AK$ — биссектриса угла $BAD$, $AB = 12 \text{ см}$, $BC = 8 \text{ см}$, $CK : KD = 1 : 5$. Найдите длину основания $AD$.

Рис. 283

Для решения задачи выполним несколько шагов, включая дополнительные построения.

1. Дополнительное построение

Проведем через вершину C прямую, параллельную боковой стороне AB. Пусть точка F — точка пересечения этой прямой с основанием AD. Поскольку в трапеции ABCD основания параллельны ($BC \parallel AD$, а значит $BC \parallel AF$), и по нашему построению $CF \parallel AB$, то четырехугольник ABCF является параллелограммом. Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны:

$AF = BC = 8$ см

$CF = AB = 12$ см

2. Использование свойства биссектрисы

Проведем через точку K, лежащую на стороне CD, прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает основание AD в точке M. Таким образом, $KM \parallel AB$.

По условию, AK является биссектрисой угла BAD, следовательно:

$\angle BAK = \angle KAD$

Поскольку прямые AB и KM параллельны, а AK — секущая, то накрест лежащие углы $\angle BAK$ и $\angle AKM$ равны:

$\angle BAK = \angle AKM$

Из двух приведенных выше равенств следует, что $\angle KAD = \angle AKM$.

Рассмотрим треугольник AMK. Так как M лежит на AD, то $\angle KAM = \angle KAD$. Следовательно, в треугольнике AMK углы при основании AK равны: $\angle KAM = \angle AKM$. Это означает, что треугольник AMK — равнобедренный, и стороны, противолежащие равным углам, равны:

$AM = KM$

3. Применение теоремы о пропорциональных отрезках

Мы построили $KM \parallel AB$ и $CF \parallel AB$, из чего следует, что $KM \parallel CF$. Рассмотрим угол ADC, стороны которого пересечены параллельными прямыми KM и CF. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках) имеем:

$\frac{KM}{CF} = \frac{DK}{DC}$

Из условия задачи $CK : KD = 1 : 5$. Если принять $CK = x$, то $KD = 5x$, а вся сторона $CD = CK + KD = x + 5x = 6x$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{KM}{12} = \frac{5x}{6x} = \frac{5}{6}$

Отсюда можем найти длину KM:

$KM = 12 \cdot \frac{5}{6} = 10$ см.

4. Вычисление длины основания AD

Из пункта 2 мы знаем, что $AM = KM$. Так как $KM = 10$ см, то и $AM = 10$ см.

Точка F лежит на отрезке AM, так как $AF = 8$ см, а $AM=10$ см. Найдем длину отрезка FM:

$FM = AM - AF = 10 - 8 = 2$ см.

Снова применим теорему о пропорциональных отрезках к углу ADC и параллельным прямым KM и CF:

$\frac{DM}{FM} = \frac{DK}{CK}$

Подставим известные значения:

$\frac{DM}{2} = \frac{5x}{x} = 5$

Отсюда $DM = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Длина основания AD равна сумме длин отрезков AF и FD, где $FD = FM + DM$.

$AD = AF + FM + DM = 8 + 2 + 10 = 20$ см.

Ответ: 20 см.