Номер 301, страница 139 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

301. Докажите, что если катет $a$ и гипотенуза $c$ одного прямоугольного треугольника соответственно пропорциональны катету $a_1$ и гипотенузе $c_1$ другого прямоугольного треугольника $(\frac{a}{a_1} = \frac{c}{c_1})$, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Пусть даны два прямоугольных треугольника. Обозначим катеты первого треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу — как $c$. Соответственно, катеты второго треугольника — $a_1$ и $b_1$, а гипотенуза — $c_1$.

По условию задачи, катет $a$ и гипотенуза $c$ первого треугольника пропорциональны катету $a_1$ и гипотенузе $c_1$ второго треугольника. Это означает, что существует коэффициент пропорциональности $k$, такой что:

$$ \frac{a}{a_1} = \frac{c}{c_1} = k $$

Из этого соотношения мы можем выразить $a$ и $c$ через $a_1$ и $c_1$: $a = k \cdot a_1$ и $c = k \cdot c_1$.

Для доказательства подобия треугольников воспользуемся признаком подобия по трем сторонам (SSS). Для этого нужно показать, что отношение вторых катетов $b$ и $b_1$ также равно $k$, то есть $\frac{b}{b_1} = k$.

Согласно теореме Пифагора для первого треугольника $b^2 = c^2 - a^2$. Подставим в это равенство выражения для $a$ и $c$:

$$ b^2 = (k \cdot c_1)^2 - (k \cdot a_1)^2 = k^2 c_1^2 - k^2 a_1^2 = k^2(c_1^2 - a_1^2) $$

Из теоремы Пифагора для второго треугольника мы знаем, что $b_1^2 = c_1^2 - a_1^2$. Подставим это в полученное выражение для $b^2$:

$$ b^2 = k^2 \cdot b_1^2 $$

Так как длины сторон являются положительными величинами, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

$$ b = k \cdot b_1 $$

Отсюда следует, что отношение катетов $b$ и $b_1$ равно $k$:

$$ \frac{b}{b_1} = k $$

Таким образом, мы доказали, что все три пары соответственных сторон двух треугольников пропорциональны с одним и тем же коэффициентом $k$:

$$ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} $$

Следовательно, по признаку подобия по трем сторонам (SSS), данные прямоугольные треугольники подобны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, треугольники подобны.