Номер 298, страница 139 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

298. В треугольнике $ABC$ провели средние линии $MK$, $KN$ и $MN$, $M \in AB$, $N \in BC$, $K \in AC$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $NKM$ подобны.

По условию, в треугольнике $ABC$ точки $M$, $N$, $K$ лежат на сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Отрезки $MK$, $KN$ и $MN$ являются средними линиями треугольника $ABC$. По определению, средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Следовательно, точки $M$, $N$ и $K$ являются серединами сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно.

Чтобы доказать, что треугольники $ABC$ и $NKM$ подобны, воспользуемся признаком подобия по трем сторонам (SSS). Согласно этому признаку, два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответственным сторонам другого.

Вспомним свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Применим это свойство к каждой из средних линий в треугольнике $ABC$:

• Отрезок $NK$ соединяет середины сторон $BC$ и $AC$. Следовательно, $NK$ является средней линией, параллельной стороне $AB$, и ее длина равна:
  $NK = \frac{1}{2}AB$
• Отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AC$ и $AB$. Следовательно, $KM$ является средней линией, параллельной стороне $BC$, и ее длина равна:
  $KM = \frac{1}{2}BC$
• Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $MN$ является средней линией, параллельной стороне $AC$, и ее длина равна:
  $MN = \frac{1}{2}AC$

Теперь найдем отношения длин соответственных сторон треугольников $ABC$ и $NKM$. Сторонам $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответствуют стороны $NK$, $KM$ и $MN$ треугольника $NKM$.

Найдем отношения их длин:

$ \frac{NK}{AB} = \frac{\frac{1}{2}AB}{AB} = \frac{1}{2} $

$ \frac{KM}{BC} = \frac{\frac{1}{2}BC}{BC} = \frac{1}{2} $

$ \frac{MN}{AC} = \frac{\frac{1}{2}AC}{AC} = \frac{1}{2} $

Мы видим, что все три отношения равны:

$ \frac{NK}{AB} = \frac{KM}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{2} $

Поскольку стороны треугольника $NKM$ пропорциональны соответственным сторонам треугольника $ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$, то по признаку подобия по трем сторонам треугольники $ABC$ и $NKM$ подобны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Подобие треугольников $ABC$ и $NKM$ доказано. Стороны треугольника $NKM$ являются средними линиями треугольника $ABC$, поэтому они пропорциональны сторонам треугольника $ABC$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$. По признаку подобия по трем сторонам, $ \triangle ABC \sim \triangle NKM $.