Номер 304, страница 140 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

304. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 21$ см, $BC = 7$ см. Диагонали трапеции $AC = 20$ см, $BD = 16$ см, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите периметр треугольника $AOD$.

Для нахождения периметра треугольника $AOD$ необходимо найти длины его сторон: $AO$, $OD$ и $AD$. Длина стороны $AD$ нам известна из условия и равна 21 см. Найдем длины отрезков $AO$ и $OD$.

1. Доказательство подобия треугольников.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$, которые образуются при пересечении диагоналей трапеции. В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны.

• $\angle OAD = \angle OCB$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).
• $\angle ODA = \angle OBC$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).

Следовательно, $\triangle AOD \sim \triangle BOC$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).

2. Нахождение длин отрезков диагоналей.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC}$

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин оснований:

$k = \frac{AD}{BC} = \frac{21}{7} = 3$

Это означает, что отрезки диагоналей, прилежащие к большему основанию, в 3 раза длиннее отрезков, прилежащих к меньшему основанию:

$AO = 3 \cdot CO$

$DO = 3 \cdot BO$

Найдем длины отрезков, зная полные длины диагоналей.

Для диагонали $AC = 20$ см:

$AC = AO + CO = 3 \cdot CO + CO = 4 \cdot CO$

$4 \cdot CO = 20$ см $\Rightarrow CO = 5$ см.

$AO = 3 \cdot CO = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Для диагонали $BD = 16$ см:

$BD = DO + BO = 3 \cdot BO + BO = 4 \cdot BO$

$4 \cdot BO = 16$ см $\Rightarrow BO = 4$ см.

$DO = 3 \cdot BO = 3 \cdot 4 = 12$ см.

3. Вычисление периметра треугольника AOD.

Периметр треугольника $AOD$ равен сумме длин его сторон:

$P_{AOD} = AO + OD + AD$

Подставим найденные и данные значения:

$P_{AOD} = 15 + 12 + 21 = 48$ см.

Ответ: 48 см.