Номер 300, страница 139 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

300. а) В трапеции $ABCD$ (рис. 279, а) $BC = 9$ см, $AD = 18$ см, $OD = 8$ см. Найдите $BO$.

б) В прямоугольнике $ABCD$ (рис. 279, б) $BC = 18$ см, $AK = 5$ см, $KC = 15$ см. Найдите $MD$.

в) В параллелограмме $ABCD$ (рис. 279, в) $AD = 12$ см, $MC = 4$ см, $KM = 6$ см. Найдите $AK$.

Рис. 279

а) В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
Рассмотрим треугольники $BOC$ и $DOA$.
Углы $\angle CBO$ и $\angle ADO$ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.
Углы $\angle BCO$ и $\angle DAO$ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.
Следовательно, треугольник $BOC$ подобен треугольнику $DOA$ по двум углам ($\triangle BOC \sim \triangle DOA$).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD}$
Используем часть пропорции с известными нам величинами:
$\frac{BO}{DO} = \frac{BC}{AD}$
Подставим известные значения: $BC = 9$ см, $AD = 18$ см, $OD = 8$ см.
$\frac{BO}{8} = \frac{9}{18}$
$\frac{BO}{8} = \frac{1}{2}$
$BO = \frac{8}{2} = 4$ см.
Ответ: 4 см.

б) В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, значит $AD \parallel BC$ и $AD = BC = 18$ см.
Рассмотрим треугольники $AKM$ и $CKB$.
Углы $\angle KAM$ и $\angle KCB$ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
Углы $\angle AKM$ и $\angle CKB$ равны как вертикальные.
Следовательно, треугольник $AKM$ подобен треугольнику $CKB$ по двум углам ($\triangle AKM \sim \triangle CKB$).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AM}{CB} = \frac{AK}{CK} = \frac{MK}{BK}$
Используем часть пропорции с известными нам величинами:
$\frac{AM}{BC} = \frac{AK}{KC}$
Подставим известные значения: $AK = 5$ см, $KC = 15$ см, $BC = 18$ см.
$\frac{AM}{18} = \frac{5}{15}$
$\frac{AM}{18} = \frac{1}{3}$
$AM = \frac{18}{3} = 6$ см.
Точка $M$ лежит на стороне $AD$. Длина стороны $AD$ равна $18$ см.
Найдем длину отрезка $MD$:
$MD = AD - AM = 18 - 6 = 12$ см.
Ответ: 12 см.

в) В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, значит $AD \parallel BC$ и $AD = BC = 12$ см.
Точка $M$ лежит на стороне $BC$. Найдем длину отрезка $BM$:
$BM = BC - MC = 12 - 4 = 8$ см.
Рассмотрим треугольники $AKD$ и $MKB$, образованные пересечением отрезков $AM$ и $BD$ в точке $K$.
Углы $\angle KAD$ и $\angle KMB$ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AM$.
Углы $\angle KDA$ и $\angle KBM$ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$.
Следовательно, треугольник $AKD$ подобен треугольнику $MKB$ по двум углам ($\triangle AKD \sim \triangle MKB$).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AK}{MK} = \frac{AD}{MB} = \frac{KD}{KB}$
Используем часть пропорции с известными нам величинами:
$\frac{AK}{KM} = \frac{AD}{BM}$
Подставим известные значения: $KM = 6$ см, $AD = 12$ см, $BM = 8$ см.
$\frac{AK}{6} = \frac{12}{8}$
$\frac{AK}{6} = \frac{3}{2}$
$AK = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$ см.
Ответ: 9 см.