Номер 293, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

293. По данным на рисунках 276, а), б) докажите подобие треугольников. Найдите длину стороны, обозначенной знаком вопроса (все размеры даны в сантиметрах).

а) B $6$ $7$ A C $8$

N $?$ $9$ K M $12$

б) P $30$ T Q $20$

E F $30$ G $?$

Рис. 276

а)

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle KMN$.

По данным на рисунке, в $\triangle ABC$ известны стороны $AB = 6$ см, $AC = 8$ см и угол $\angle A$ между ними. В $\triangle KMN$ известны стороны $MN = 9$ см, $KM = 12$ см и угол $\angle M$ между ними.

На рисунке углы $\angle A$ и $\angle M$ отмечены одинаковыми дугами, следовательно, мы можем считать, что $\angle A = \angle M$.

Для доказательства подобия по второму признаку (по двум сторонам и углу между ними) необходимо проверить пропорциональность сторон, образующих эти равные углы. Сравним отношения длин соответствующих сторон. Чтобы правильно сопоставить стороны, сравним отношение большей стороны к большей и меньшей к меньшей из тех, что прилежат к равным углам.

Отношение сторон $KM$ и $AC$: $\frac{KM}{AC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

Отношение сторон $MN$ и $AB$: $\frac{MN}{AB} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Так как отношения сторон равны ($\frac{KM}{AC} = \frac{MN}{AB}$) и углы между этими сторонами равны ($\angle M = \angle A$), то треугольники подобны по второму признаку подобия. Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle NMK$.

Коэффициент подобия $k = \frac{3}{2}$.

Теперь найдем длину стороны $KN$, обозначенной знаком вопроса. В подобном треугольнике $\triangle ABC$ ей соответствует сторона $BC$. Их отношение также должно быть равно коэффициенту подобия:

$\frac{KN}{BC} = k$

Подставим известные значения:

$\frac{KN}{7} = \frac{3}{2}$

Отсюда находим $KN$:

$KN = 7 \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{2} = 10.5$ см.

Ответ: $10.5$ см.

б)

Рассмотрим треугольники $\triangle PQT$ и $\triangle EFG$.

По данным на рисунке, в $\triangle PQT$ известны углы $\angle T$ (отмечен двумя дугами) и $\angle Q$ (отмечен одной дугой). В $\triangle EFG$ известны углы $\angle G$ (отмечен двумя дугами) и $\angle E$ (отмечен одной дугой).

Из одинаковых обозначений на рисунке следует, что $\angle T = \angle G$ и $\angle Q = \angle E$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Установим правильное соответствие вершин: вершина с углом в одну дугу соответствует другой вершине с углом в одну дугу ($Q \leftrightarrow E$), вершина с углом в две дуги соответствует другой с таким же углом ($T \leftrightarrow G$), и, следовательно, третья вершина соответствует третьей ($P \leftrightarrow F$). Таким образом, подобие можно записать как $\triangle PQT \sim \triangle FEG$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{PQ}{FE} = \frac{QT}{EG} = \frac{PT}{FG}$

Подставим известные значения длин сторон в пропорцию. Стороне $QT = 20$ см соответствует сторона $EG = 30$ см. Стороне $PT = 30$ см соответствует искомая сторона $FG$.

$\frac{QT}{EG} = \frac{PT}{FG}$

$\frac{20}{30} = \frac{30}{FG}$

Решим это уравнение относительно $FG$:

$20 \cdot FG = 30 \cdot 30$

$20 \cdot FG = 900$

$FG = \frac{900}{20} = 45$ см.

Ответ: $45$ см.