Номер 289, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

289. На координатной плоскости дан треугольник $OAB$, где $O(0; 0)$, $A(3; 5)$, $B(3; 0)$. Постройте какой-либо треугольник $OA_1B_1$, подобный данному, стороны которого в 2 раза больше сторон треугольника $OAB$. Укажите координаты точек $A_1$ и $B_1$.

Для построения треугольника $OA_1B_1$, подобного треугольнику $OAB$, стороны которого в 2 раза больше, необходимо применить преобразование подобия (гомотетию) с коэффициентом $k=2$.

В качестве центра гомотетии удобно выбрать одну из вершин исходного треугольника, например, начало координат — точку $O(0; 0)$, которая будет общей для обоих треугольников. При гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k$, каждая точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(kx; ky)$.

Даны координаты вершин: $O(0; 0)$, $A(3; 5)$ и $B(3; 0)$. Коэффициент подобия $k=2$.

Найдем координаты новых вершин $A_1$ и $B_1$:

Координаты точки $A_1$ вычисляются умножением координат точки $A$ на коэффициент $k$:
$A_1(k \cdot x_A; k \cdot y_A) = A_1(2 \cdot 3; 2 \cdot 5) = A_1(6; 10)$.

Координаты точки $B_1$ вычисляются аналогично, умножением координат точки $B$ на коэффициент $k$:
$B_1(k \cdot x_B; k \cdot y_B) = B_1(2 \cdot 3; 2 \cdot 0) = B_1(6; 0)$.

Вершина $O(0; 0)$ остается на месте, так как она является центром гомотетии. Таким образом, искомый треугольник $OA_1B_1$ имеет вершины с координатами $O(0; 0)$, $A_1(6; 10)$ и $B_1(6; 0)$.

Ответ: $A_1(6; 10)$, $B_1(6; 0)$.