Номер 286, страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

286. В треугольнике $ABC$ $AB = 4 \text{ см}$, $AC = 12 \text{ см}$ (рис. 264). Найдите периметр ромба $AMNK$.

Рис. 264

Пусть сторона ромба AMNK равна $x$ см. По определению ромба все его стороны равны, поэтому $AM = MN = NK = KA = x$.

Также, по свойству ромба, его противолежащие стороны параллельны. В нашем случае это означает, что $MN \parallel AK$. Поскольку точка $K$ лежит на стороне $AC$ треугольника, то прямая $AK$ совпадает с прямой $AC$. Следовательно, $MN \parallel AC$.

Рассмотрим $\triangle BMN$ и $\triangle BAC$. Угол $\angle B$ у них общий. Углы $\angle BMN$ и $\angle BAC$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$. Таким образом, $\triangle BMN$ подобен $\triangle BAC$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:

$\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC}$

Из условия задачи нам известно, что $AB = 4$ см и $AC = 12$ см. Сторона ромба $MN = x$. Точка $M$ лежит на отрезке $AB$, поэтому длина отрезка $BM$ равна $AB - AM$. Так как $AM$ является стороной ромба, $AM = x$. Следовательно, $BM = 4 - x$.

Подставим эти значения в нашу пропорцию:

$\frac{4 - x}{4} = \frac{x}{12}$

Теперь решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$12 \cdot (4 - x) = 4 \cdot x$

$48 - 12x = 4x$

$48 = 4x + 12x$

$48 = 16x$

$x = \frac{48}{16}$

$x = 3$

Итак, мы нашли длину стороны ромба, она равна 3 см.

Периметр ромба ($P_{AMNK}$) равен сумме длин всех его четырех сторон, то есть $P = 4x$.

$P_{AMNK} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Ответ: 12 см.