Номер 280, страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

280. Известно, что $\triangle ABC \sim \triangle MNK$ с коэффициентом подобия $k = 3$ $(\frac{AB}{MN} = k)$. Найдите периметр треугольника $MNK$, если $AB = 4$ см, $BC = 5\frac{1}{3}$ см, $AC = 2\frac{2}{3}$ см.

По условию задачи треугольник $ABC$ подобен треугольнику $MNK$ ($\triangle ABC \sim \triangle MNK$) с коэффициентом подобия $k = 3$. Это означает, что отношение длин соответствующих сторон этих треугольников равно 3: $$ \frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK} = \frac{AC}{MK} = k = 3 $$

Существует свойство подобных треугольников, согласно которому отношение их периметров также равно коэффициенту подобия: $$ \frac{P_{ABC}}{P_{MNK}} = k $$ где $P_{ABC}$ – периметр треугольника $ABC$, а $P_{MNK}$ – периметр треугольника $MNK$.

Чтобы найти периметр треугольника $MNK$, сначала вычислим периметр треугольника $ABC$. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Дано: $AB = 4$ см, $BC = 5\frac{1}{3}$ см, $AC = 2\frac{2}{3}$ см. $$ P_{ABC} = AB + BC + AC = 4 + 5\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3} $$ Для удобства сложим целые и дробные части по отдельности: $$ P_{ABC} = (4 + 5 + 2) + \left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right) = 11 + \frac{3}{3} = 11 + 1 = 12 \text{ см} $$

Теперь, используя соотношение периметров, мы можем найти $P_{MNK}$: $$ P_{MNK} = \frac{P_{ABC}}{k} $$ Подставим известные значения $P_{ABC} = 12$ см и $k = 3$: $$ P_{MNK} = \frac{12}{3} = 4 \text{ см} $$

Ответ: 4 см.