Номер 274, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

274. Известно, что $\triangle ABC \sim \triangle MNK$. Найдите:

а) величину угла $B$, если $\angle M = 80^{\circ}$, $\angle K = 40^{\circ}$;

б) величину угла $K$, если $\angle N = 75^{\circ}$, $\angle A = \angle B$;

в) длину стороны $AB$, если $BC = 15$ см, $MN = 21$ см, $NK = 45$ см;

г) площадь треугольника $MNK$, если $\angle A = 90^{\circ}$, $BC = 15$ см, $AB = 12$ см, $NK = 5$ см.

а) По условию, треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны ($\triangle ABC \sim \triangle MNK$). В подобных треугольниках соответствующие углы равны. Это означает, что $\angle A = \angle M$, $\angle B = \angle N$ и $\angle C = \angle K$.

Нам нужно найти величину угла $B$, которая равна величине угла $N$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $MNK$ имеем: $\angle M + \angle N + \angle K = 180^\circ$.

Подставим известные значения $\angle M = 80^\circ$ и $\angle K = 40^\circ$:

$80^\circ + \angle N + 40^\circ = 180^\circ$

$120^\circ + \angle N = 180^\circ$

$\angle N = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Так как $\angle B = \angle N$, то $\angle B = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) Из условия подобия $\triangle ABC \sim \triangle MNK$ следует, что $\angle C = \angle K$, $\angle B = \angle N$ и $\angle A = \angle M$.

Нам дано, что $\angle N = 75^\circ$. Следовательно, $\angle B = 75^\circ$.

Также дано, что $\angle A = \angle B$, значит $\angle A = 75^\circ$.

Поскольку $\angle A = \angle M$, то $\angle M = 75^\circ$.

Теперь мы знаем два угла в треугольнике $MNK$: $\angle M = 75^\circ$ и $\angle N = 75^\circ$. Найдем третий угол $K$, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle K = 180^\circ - (\angle M + \angle N) = 180^\circ - (75^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

в) В подобных треугольниках $ABC$ и $MNK$ отношения длин соответствующих сторон равны. Соответствующие стороны — это те, которые лежат напротив равных углов. Так как $\triangle ABC \sim \triangle MNK$, то:

$\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK} = \frac{AC}{MK}$

Нам нужно найти длину стороны $AB$. Используем пропорцию с известными сторонами:

$\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK}$

Подставим известные значения: $BC = 15$ см, $MN = 21$ см, $NK = 45$ см.

$\frac{AB}{21} = \frac{15}{45}$

Упростим дробь в правой части: $\frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.

$\frac{AB}{21} = \frac{1}{3}$

Теперь найдем $AB$:

$AB = 21 \cdot \frac{1}{3} = 7 \text{ см}$.

Ответ: 7 см.

г) Нам нужно найти площадь треугольника $MNK$ ($S_{MNK}$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{ABC}}{S_{MNK}} = k^2$

Коэффициент подобия $k$ можно найти как отношение длин соответствующих сторон. Из условия $\triangle ABC \sim \triangle MNK$ следует, что сторона $BC$ соответствует стороне $NK$.

$k = \frac{BC}{NK} = \frac{15 \text{ см}}{5 \text{ см}} = 3$

Следовательно, $\frac{S_{ABC}}{S_{MNK}} = 3^2 = 9$.

Теперь найдем площадь треугольника $ABC$ ($S_{ABC}$). Нам дано, что $\angle A = 90^\circ$, значит $\triangle ABC$ — прямоугольный. Его катеты — $AB$ и $AC$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC$.

Нам известны катет $AB = 12$ см и гипотенуза $BC = 15$ см. Найдем второй катет $AC$ по теореме Пифагора: $AC^2 + AB^2 = BC^2$.

$AC^2 + 12^2 = 15^2$

$AC^2 + 144 = 225$

$AC^2 = 225 - 144 = 81$

$AC = \sqrt{81} = 9$ см

Теперь вычислим площадь $\triangle ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54 \text{ см}^2$.

Наконец, найдем площадь $\triangle MNK$ из соотношения площадей:

$S_{MNK} = \frac{S_{ABC}}{9} = \frac{54}{9} = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: $6 \text{ см}^2$.