Номер 276, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

276. На рисунке 260 $\angle BAC = 90^\circ$, $HK \perp AC$, $AK = 4 \text{ см}$, $KC = 12 \text{ см}$, $AB = 8 \text{ см}$. Найдите длину $HK$.

Рис. 260

Для решения задачи воспользуемся методом подобных треугольников. Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle HKC $.

Согласно условию, угол $ \angle BAC = 90^\circ $. Также дано, что отрезок $ HK $ перпендикулярен стороне $ AC $ ($ HK \perp AC $), из чего следует, что угол $ \angle HKC = 90^\circ $. Таким образом, мы имеем равенство углов: $ \angle BAC = \angle HKC $.

Угол $ C $ (или $ \angle HCK $) является общим для обоих треугольников.

Так как два угла одного треугольника ($ \triangle HKC $) соответственно равны двум углам другого треугольника ($ \triangle ABC $), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Запишем это как: $ \triangle HKC \sim \triangle ABC $.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно. Составим пропорцию для сторон, лежащих напротив равных углов: $ \frac{HK}{AB} = \frac{KC}{AC} $

Найдем длину катета $ AC $. Она состоит из суммы длин отрезков $ AK $ и $ KC $: $ AC = AK + KC = 4 + 12 = 16 $ см.

Теперь подставим все известные значения ($ AB = 8 $ см, $ KC = 12 $ см, $ AC = 16 $ см) в составленную нами пропорцию: $ \frac{HK}{8} = \frac{12}{16} $

Осталось выразить $ HK $ из этого уравнения и вычислить его значение: $ HK = 8 \cdot \frac{12}{16} $
Сокращаем дробь $ \frac{12}{16} $ на 4: $ \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $.
$ HK = 8 \cdot \frac{3}{4} = \frac{24}{4} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.