Номер 282, страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

282. Изобразите треугольник $ABC$. Через его вершины проведите прямые, параллельные противоположным сторонам. Докажите, что образованный ими треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$.

Сначала выполним построение согласно условию задачи. Изобразим произвольный треугольник $ABC$. Далее через каждую вершину треугольника проведем прямую, параллельную противоположной стороне:

• через вершину $A$ проведем прямую $B_1C_1 \parallel BC$;
• через вершину $B$ проведем прямую $A_1C_1 \parallel AC$;
• через вершину $C$ проведем прямую $A_1B_1 \parallel AB$.

Пересечение этих трех прямых образует новый треугольник $A_1B_1C_1$. Нам необходимо доказать, что $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$.

Доказательство

Для доказательства подобия треугольников воспользуемся первым признаком подобия (по двум, а следовательно, и по трем равным углам). Найдем углы треугольника $A_1B_1C_1$.

1. Рассмотрим четырехугольник $ABA_1C$. По построению, прямая $A_1C$ параллельна стороне $AB$ ($A_1B_1 \parallel AB$), а прямая $A_1B$ параллельна стороне $AC$ ($A_1C_1 \parallel AC$). Поскольку противолежащие стороны этого четырехугольника попарно параллельны, $ABA_1C$ является параллелограммом по определению. В параллелограмме противолежащие углы равны, следовательно, $\angle BA_1C = \angle BAC$. Угол $\angle BA_1C$ и есть угол $\angle A_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Таким образом, $\angle A_1 = \angle A$.

2. Аналогично рассмотрим четырехугольник $BCB_1A$. По построению, $B_1A \parallel BC$ и $B_1C \parallel AB$. Следовательно, $BCB_1A$ — также параллелограмм. Противолежащие углы в нем равны, поэтому $\angle AB_1C = \angle ABC$. Угол $\angle AB_1C$ — это угол $\angle B_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Таким образом, $\angle B_1 = \angle B$.

3. Наконец, рассмотрим четырехугольник $CAC_1B$. По построению, $C_1B \parallel AC$ и $C_1A \parallel BC$. Следовательно, $CAC_1B$ — параллелограмм. Противолежащие углы равны, поэтому $\angle AC_1B = \angle ACB$. Угол $\angle AC_1B$ — это угол $\angle C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Таким образом, $\angle C_1 = \angle C$.

Мы показали, что все три угла треугольника $A_1B_1C_1$ соответственно равны трем углам треугольника $ABC$:

$\angle A_1 = \angle A$

$\angle B_1 = \angle B$

$\angle C_1 = \angle C$

Следовательно, по первому признаку подобия треугольников, $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $A_1B_1C_1$, образованный прямыми, проведенными через вершины треугольника $ABC$ параллельно его противолежащим сторонам, подобен исходному треугольнику $ABC$.