Номер 277, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

277. На рисунке 261 $AK = 4 \text{ см}$, $KB = 8 \text{ см}$, $EC = 12 \text{ см}$. Найдите периметр параллелограмма KBEF.

$P = ?$
Рис. 261

Дано:

Четырехугольник $KBEF$ — параллелограмм.
Точки $K, E, F$ лежат на сторонах треугольника $ABC$.
$AK = 4$ см
$KB = 8$ см
$EC = 12$ см

Найти:

Периметр параллелограмма $KBEF$.

Решение:

1. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — его смежные стороны. Для параллелограмма $KBEF$ формула будет выглядеть так: $P_{KBEF} = 2(KB + BE)$.

2. Из условия задачи известна длина стороны $KB = 8$ см. Чтобы найти периметр, нам нужно найти длину стороны $BE$.

3. Так как $KBEF$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, $EF \parallel KB$. Поскольку точка $K$ лежит на стороне $AB$, то $EF \parallel AB$.

4. Рассмотрим треугольник $ABC$. Прямая $EF$ параллельна стороне $AB$ и пересекает стороны $BC$ и $AC$. По теореме о подобных треугольниках, треугольник $EFC$ подобен треугольнику $ABC$ ($ \triangle EFC \sim \triangle ABC $). Это следует из того, что угол $C$ у них общий, а углы $ \angle CEF $ и $ \angle CBA $ равны как соответственные при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $BC$.

5. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$ \frac{EC}{BC} = \frac{EF}{AB} $

6. Найдем длины сторон, входящих в эту пропорцию:

• $EC = 12$ см (по условию).
• $AB = AK + KB = 4 + 8 = 12$ см.
• $EF = KB = 8$ см (как противоположные стороны параллелограмма $KBEF$).
• $BC = BE + EC = BE + 12$ см.

7. Подставим известные значения в пропорцию и решим уравнение относительно $BE$:
$ \frac{12}{BE + 12} = \frac{8}{12} $
$ 12 \cdot 12 = 8 \cdot (BE + 12) $
$ 144 = 8 \cdot BE + 96 $
$ 8 \cdot BE = 144 - 96 $
$ 8 \cdot BE = 48 $
$ BE = \frac{48}{8} = 6 $ см.

8. Теперь мы можем найти периметр параллелограмма $KBEF$:
$ P_{KBEF} = 2(KB + BE) = 2(8 + 6) = 2 \cdot 14 = 28 $ см.

Ответ: 28 см.