Номер 283, страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

283. Дана трапеция $ABCD$, $AD = 15 \text{ см}$, $BC = 6 \text{ см}$ — основания трапеции, $AB = 6 \text{ см}$, $CD = 12 \text{ см}$. Боковые стороны трапеции продолжены до пересечения в точке $K$. Найдите длины отрезков $BK$ и $CK$.

По условию, дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Боковые стороны AB и CD продолжены до пересечения в точке K. При этом образуются два треугольника: ΔKBC и ΔKAD.

Рассмотрим эти треугольники. Так как ABCD — трапеция, её основания параллельны, то есть BC || AD. Вследствие этого треугольники ΔKBC и ΔKAD подобны по двум углам: угол при вершине K является общим для обоих треугольников (∠BKC = ∠AKD), а углы ∠KBC и ∠KAD равны как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей AK.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно. Запишем пропорцию:

$$ \frac{KB}{KA} = \frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD} $$

Используем известные длины сторон: AB = 6 см, CD = 12 см, BC = 6 см, AD = 15 см. Длины сторон большего треугольника можно выразить через длины сторон меньшего треугольника и отрезков боковых сторон трапеции: $KA = KB + AB = KB + 6$ и $KD = KC + CD = KC + 12$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$$ \frac{KB}{KB + 6} = \frac{KC}{KC + 12} = \frac{6}{15} $$

Упростим отношение оснований: $ \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $. Теперь мы можем составить и решить два уравнения для нахождения BK и CK.

Для нахождения BK используем равенство $ \frac{KB}{KB + 6} = \frac{2}{5} $.
Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$ 5 \cdot KB = 2 \cdot (KB + 6) $
$ 5 \cdot KB = 2 \cdot KB + 12 $
$ 5 \cdot KB - 2 \cdot KB = 12 $
$ 3 \cdot KB = 12 $
$ KB = \frac{12}{3} = 4 $ см.

Для нахождения CK используем равенство $ \frac{KC}{KC + 12} = \frac{2}{5} $.
Аналогично решаем уравнение:
$ 5 \cdot KC = 2 \cdot (KC + 12) $
$ 5 \cdot KC = 2 \cdot KC + 24 $
$ 5 \cdot KC - 2 \cdot KC = 24 $
$ 3 \cdot KC = 24 $
$ KC = \frac{24}{3} = 8 $ см.

Ответ: BK = 4 см, CK = 8 см.