Номер 287, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

287. $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, коэффициент подобия $k = \frac{2}{3}$. Известно, что $AB + BC = 24$ см, $A_1B_1 - B_1C_1 = 6$ см. Найдите $AB$.

По условию, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ подобны с коэффициентом подобия $k = \frac{2}{3}$. Согласно определению подобия, отношение длин соответственных сторон второго треугольника к первому равно коэффициенту подобия: $$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = k $$ Подставив значение $k = \frac{2}{3}$, получим соотношения между сторонами: $$ A_1B_1 = \frac{2}{3} AB $$ $$ B_1C_1 = \frac{2}{3} BC $$

Из условия задачи нам известны следующие два равенства:

1) $AB + BC = 24$ см

2) $A_1B_1 - B_1C_1 = 6$ см

Подставим выражения для $A_1B_1$ и $B_1C_1$ из соотношений подобия во второе уравнение: $$ \frac{2}{3} AB - \frac{2}{3} BC = 6 $$

Вынесем общий множитель $\frac{2}{3}$ за скобки, чтобы упростить уравнение: $$ \frac{2}{3} (AB - BC) = 6 $$

Теперь найдем разность длин сторон $AB$ и $BC$: $$ AB - BC = 6 \cdot \frac{3}{2} $$ $$ AB - BC = 9 $$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $AB$ и $BC$: $$ \begin{cases} AB + BC = 24 \\ AB - BC = 9 \end{cases} $$

Для того чтобы найти $AB$, сложим левые и правые части обоих уравнений системы: $$ (AB + BC) + (AB - BC) = 24 + 9 $$ $$ 2AB = 33 $$ $$ AB = \frac{33}{2} $$ $$ AB = 16.5 \text{ см} $$

Ответ: $16.5$ см.