Номер 281, страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

281. Докажите, что средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному. Найдите коэффициент подобия этих треугольников.

Докажите, что средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Пусть точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Тогда отрезок $MN$ — это средняя линия треугольника $ABC$. Эта линия отсекает от исходного треугольника малый треугольник $MBN$. Необходимо доказать, что треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$).

Для доказательства воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$:

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников, следовательно, $\angle MBN = \angle ABC$.
2. Так как точка $M$ — середина стороны $AB$, то длина отрезка $BM$ равна половине длины стороны $AB$, то есть $BM = \frac{1}{2}AB$. Отсюда находим отношение этих сторон: $\frac{BM}{AB} = \frac{1}{2}$.
3. Аналогично, так как точка $N$ — середина стороны $BC$, то $BN = \frac{1}{2}BC$. Отношение этих сторон: $\frac{BN}{BC} = \frac{1}{2}$.

Мы видим, что две стороны треугольника $MBN$ ($BM$ и $BN$) пропорциональны двум соответственным сторонам треугольника $ABC$ ($AB$ и $BC$), а углы между этими сторонами ($\angle MBN$ и $\angle ABC$) равны: $$ \frac{BM}{AB} = \frac{BN}{BC} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \angle MBN = \angle ABC $$

Следовательно, по второму признаку подобия, $\triangle MBN \sim \triangle ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник, отсекаемый средней линией, подобен исходному треугольнику, что было доказано на основании признака подобия по двум сторонам и углу между ними.

Найдите коэффициент подобия этих треугольников.

Коэффициент подобия $k$ — это число, равное отношению длин соответственных сторон подобных треугольников.

В ходе доказательства подобия треугольников $MBN$ и $ABC$ мы уже установили, что: $$ k = \frac{BM}{AB} = \frac{BN}{BC} = \frac{1}{2} $$

Также можно найти отношение третьей пары сторон. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине: $MN = \frac{1}{2}AC$.

Тогда отношение длин этих сторон также равно: $$ k = \frac{MN}{AC} = \frac{\frac{1}{2}AC}{AC} = \frac{1}{2} $$

Таким образом, все соответственные стороны малого треугольника в 2 раза короче сторон большого треугольника.

Ответ: Коэффициент подобия этих треугольников равен $\frac{1}{2}$.