Номер 278, страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

278. Равнобедренные треугольники на рисунке 262 подобны, $\angle C = 71^{\circ}$. Найдите величину угла $N$.

Рис. 262

Рассмотрим треугольник $ABC$. Согласно условию и отметкам на рисунке, это равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны: $AB = BC$. Следовательно, сторона $AC$ является основанием, а углы при основании равны: $\angle A = \angle C$.

По условию нам дана величина угла $C$: $\angle C = 71^\circ$. Так как углы при основании равны, то $\angle A = \angle C = 71^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем величину угла $B$, который является углом при вершине треугольника $ABC$: $\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (71^\circ + 71^\circ) = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$. Таким образом, углы треугольника $ABC$ равны $71^\circ$, $38^\circ$ и $71^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $NKM$. По отметкам на рисунке видно, что это также равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны: $NK = NM$. Это означает, что $MK$ является его основанием, а углы при основании $\angle K$ и $\angle M$ равны. Угол $N$ является углом при вершине этого треугольника.

По условию задачи треугольники $ABC$ и $NKM$ подобны. У подобных треугольников соответствующие углы равны. Это значит, что набор углов треугольника $NKM$ должен быть таким же, как и у треугольника $ABC$, то есть $\{71^\circ, 38^\circ, 71^\circ\}$.

В равнобедренном треугольнике $NKM$ два угла равны ($\angle K = \angle M$), а третий ($\angle N$) может от них отличаться. Сравнивая с набором углов $\{71^\circ, 38^\circ, 71^\circ\}$, мы можем сделать вывод, что два равных угла должны быть по $71^\circ$, а третий, отличный от них, должен быть равен $38^\circ$.

Поскольку $\angle K$ и $\angle M$ — это равные углы при основании, то их величина составляет $71^\circ$. Угол при вершине $\angle N$ равен единственному оставшемуся значению из набора, то есть $38^\circ$.

Таким образом, углы треугольника $NKM$ распределяются следующим образом: углы при основании $\angle K = \angle M = 71^\circ$, а угол при вершине $\angle N = 38^\circ$.

Ответ: $38^\circ$.