Номер 272, страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

272. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ на рисунках 257, а), б) подобны. По указанным размерам найдите неизвестные стороны треугольников, обозначенные знаком вопроса (все размеры даны в сантиметрах).

а) Треугольник $ABC$: стороны $AB=18$, $AC=16$, $BC=?$. Углы: $\angle A$ (одна дуга), $\angle B$ (две дуги).

Треугольник $A_1B_1C_1$: стороны $A_1B_1=9$, $B_1C_1=6$, $A_1C_1=?$. Углы: $\angle A_1$ (одна дуга), $\angle B_1$ (две дуги).

б) Треугольник $A_1B_1C_1$: стороны $A_1B_1=7,5$, $B_1C_1=12$, $A_1C_1=9,8$. Углы: $\angle B_1$ (одна дуга), $\angle C_1$ (две дуги).

Треугольник $ABC$: стороны $AB=?$, $BC=24$, $AC=?$. Углы: $\angle B$ (одна дуга), $\angle C$ (две дуги).

Рис. 257

a)

По условию задачи, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Подобие устанавливается по двум углам, так как на рисунке показано, что $ \angle A = \angle A_1 $ (отмечены одной дугой) и $ \angle B = \angle B_1 $ (отмечены двумя дугами). Следовательно, $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $.

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $

Подставим известные значения сторон $AB = 18$ и $A_1B_1 = 9$ для нахождения коэффициента подобия: $ k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{18}{9} = 2 $

Теперь мы можем найти неизвестные стороны. Для стороны $BC$, соответствующей стороне $B_1C_1 = 6$: $ \frac{BC}{B_1C_1} = k \Rightarrow \frac{BC}{6} = 2 \Rightarrow BC = 2 \cdot 6 = 12 $

Для стороны $A_1C_1$, соответствующей стороне $AC = 16$: $ \frac{AC}{A_1C_1} = k \Rightarrow \frac{16}{A_1C_1} = 2 \Rightarrow A_1C_1 = \frac{16}{2} = 8 $

Ответ: $BC = 12$ см, $A_1C_1 = 8$ см.

б)

В этом случае треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ также подобны по двум углам: $ \angle B = \angle B_1 $ (отмечены одной дугой) и $ \angle C = \angle C_1 $ (отмечены двумя дугами). Следовательно, $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $.

Запишем пропорциональность соответствующих сторон: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $

Найдем коэффициент подобия $k$, используя известные стороны $BC = 24$ и $B_1C_1 = 12$: $ k = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{24}{12} = 2 $

Теперь найдем неизвестные стороны треугольника $ABC$. Для стороны $AB$, соответствующей стороне $A_1B_1 = 7,5$: $ \frac{AB}{A_1B_1} = k \Rightarrow \frac{AB}{7,5} = 2 \Rightarrow AB = 2 \cdot 7,5 = 15 $

Для стороны $AC$, соответствующей стороне $A_1C_1 = 9,8$: $ \frac{AC}{A_1C_1} = k \Rightarrow \frac{AC}{9,8} = 2 \Rightarrow AC = 2 \cdot 9,8 = 19,6 $

Ответ: $AB = 15$ см, $AC = 19,6$ см.