Номер 267, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

267. При помощи циркуля и линейки разделите данный отрезок в от-ношении:

а) $2 : 3$;

б) $3 : 5$ (для проведения параллельных прямых можно использовать чертежный треугольник).

Для решения данной задачи используется обобщенная теорема Фалеса. Алгоритм деления отрезка в заданном отношении $m:n$ следующий:

1. Пусть дан отрезок $AB$. Из точки $A$ проведем произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$.
2. С помощью циркуля отложим на луче $l$ от точки $A$ последовательно $m+n$ равных отрезков произвольной длины. Обозначим концы этих отрезков $A_1, A_2, \dots, A_{m+n}$.
3. Соединим точку $A_{m+n}$ с точкой $B$.
4. Через точку $A_m$ (m-ая точка от начала луча) проведем прямую, параллельную отрезку $A_{m+n}B$. Для построения параллельных прямых можно использовать линейку и чертежный треугольник, как указано в условии.
5. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AB$ (назовем ее $C$) и будет искомой точкой. Согласно теореме Фалеса, поскольку параллельные прямые отсекают на одной стороне угла пропорциональные отрезки ($AA_m : A_mA_{m+n} = m:n$), то они отсекают пропорциональные отрезки и на другой стороне угла, то есть $AC : CB = m:n$.

а) 2 : 3

Требуется разделить данный отрезок $AB$ в отношении $2:3$, то есть найти на нем точку $C$ такую, что $AC:CB = 2:3$. Здесь $m=2$, $n=3$, а общее число частей равно $m+n = 2+3=5$.

1. Из точки $A$ проведем луч $l$, не принадлежащий прямой $AB$.
2. На луче $l$ отложим с помощью циркуля пять равных отрезков: $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$.
3. Соединим точку $A_5$ с точкой $B$.
4. Через точку $A_2$ (вторую по счету от $A$) проведем прямую, параллельную прямой $A_5B$.
5. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AB$ и будет искомой точкой $C$. По теореме Фалеса, $AC:CB = AA_2:A_2A_5 = 2:3$.

Ответ: Искомая точка $C$, делящая отрезок в отношении $2:3$, найдена с помощью описанного построения.

б) 3 : 5

Требуется разделить данный отрезок $AB$ в отношении $3:5$, то есть найти на нем точку $D$ такую, что $AD:DB = 3:5$. Здесь $m=3$, $n=5$, а общее число частей равно $m+n = 3+5=8$.

1. Из точки $A$ проведем луч $l$, не принадлежащий прямой $AB$.
2. На луче $l$ отложим с помощью циркуля восемь равных отрезков: $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_7A_8$.
3. Соединим точку $A_8$ с точкой $B$.
4. Через точку $A_3$ (третью по счету от $A$) проведем прямую, параллельную прямой $A_8B$.
5. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AB$ и будет искомой точкой $D$. По теореме Фалеса, $AD:DB = AA_3:A_3A_8 = 3:5$.

Ответ: Искомая точка $D$, делящая отрезок в отношении $3:5$, найдена с помощью описанного построения.