Номер 266, страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

266. На рисунке 249 $MK \parallel AC$. Найдите:

а) $MB$, если $AB = 32$ см, $BK : KC = 5 : 3$;

б) $AB$, если $AM = 18$ см, $BC : BK = 3 : 2$;

в) $BK$, если $BM = 12$ см, $AM : KC = 4 : 5$;

г) $BC$, если $AM : AB = 2 : 7$,

$BK - KC = 6$ см.

Puc. 249

Поскольку по условию $MK \parallel AC$, то по обобщенной теореме Фалеса, прямая $MK$ отсекает треугольник $MBK$, подобный треугольнику $ABC$ ($\triangle MBK \sim \triangle ABC$). Из подобия треугольников следует соотношение их сторон:
$ \frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC} $
Также по теореме Фалеса, параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки:
$ \frac{BM}{AM} = \frac{BK}{KC} $
Используя эти соотношения, решим каждую подзадачу.

а)

Дано: $AB = 32$ см, $BK : KC = 5 : 3$.
Найти: $MB$.
Решение:
Из соотношения $BK : KC = 5 : 3$ следует, что мы можем представить длины отрезков как $BK = 5x$ и $KC = 3x$ для некоторого $x$.
Тогда вся сторона $BC$ равна $BC = BK + KC = 5x + 3x = 8x$.
Найдем отношение $BK$ к $BC$:
$ \frac{BK}{BC} = \frac{5x}{8x} = \frac{5}{8} $
Из подобия треугольников $MBK$ и $ABC$ имеем: $ \frac{MB}{AB} = \frac{BK}{BC} $.
Подставим известные значения:
$ \frac{MB}{32} = \frac{5}{8} $
Отсюда находим $MB$:
$ MB = 32 \cdot \frac{5}{8} = 4 \cdot 5 = 20 $ см.
Ответ: 20 см.

б)

Дано: $AM = 18$ см, $BC : BK = 3 : 2$.
Найти: $AB$.
Решение:
Из соотношения $BC : BK = 3 : 2$ следует, что $ \frac{BK}{BC} = \frac{2}{3} $.
Из подобия треугольников $MBK$ и $ABC$ имеем: $ \frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC} $.
Следовательно, $ \frac{BM}{AB} = \frac{2}{3} $.
Мы знаем, что $AB = AM + BM$. Подставим $AM = 18$ см:
$AB = 18 + BM \implies BM = AB - 18$.
Подставим это выражение в пропорцию:
$ \frac{AB - 18}{AB} = \frac{2}{3} $
Решим уравнение относительно $AB$, используя свойство пропорции:
$ 3(AB - 18) = 2AB $
$ 3AB - 54 = 2AB $
$ 3AB - 2AB = 54 $
$ AB = 54 $ см.
Ответ: 54 см.

в)

Дано: $BM = 12$ см, $AM : KC = 4 : 5$.
Найти: $BK$.
Решение:
Согласно теореме Фалеса, $ \frac{BM}{AM} = \frac{BK}{KC} $.
Из соотношения $AM : KC = 4 : 5$ мы можем записать $AM = 4x$ и $KC = 5x$ для некоторого $x \ne 0$.
Подставим известные значения в пропорцию:
$ \frac{12}{4x} = \frac{BK}{5x} $
Можем сократить $x$ в знаменателях:
$ \frac{12}{4} = \frac{BK}{5} $
$ 3 = \frac{BK}{5} $
Отсюда находим $BK$:
$ BK = 3 \cdot 5 = 15 $ см.
Ответ: 15 см.

г)

Дано: $AM : AB = 2 : 7$, $BK - KC = 6$ см.
Найти: $BC$.
Решение:
Из соотношения $AM : AB = 2 : 7$ найдем отношение $BM$ к $AB$.
$BM = AB - AM$.
$ \frac{BM}{AB} = \frac{AB - AM}{AB} = 1 - \frac{AM}{AB} = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7} $
Из подобия треугольников $MBK$ и $ABC$ имеем: $ \frac{BK}{BC} = \frac{BM}{AB} $.
Следовательно, $ \frac{BK}{BC} = \frac{5}{7} $.
Отсюда $BK = \frac{5}{7}BC$.
Так как $BC = BK + KC$, то $KC = BC - BK = BC - \frac{5}{7}BC = \frac{2}{7}BC$.
Теперь используем второе условие: $BK - KC = 6$ см.
Подставим выражения для $BK$ и $KC$ через $BC$:
$ \frac{5}{7}BC - \frac{2}{7}BC = 6 $
$ \frac{3}{7}BC = 6 $
$ BC = 6 \cdot \frac{7}{3} = 2 \cdot 7 = 14 $ см.
Ответ: 14 см.