Номер 270, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

270. Точки $M, N, K$ и $P$ — середины сторон параллелограмма $ABCD$ (рис. 251). Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 120 $см^2$. Найдите площадь четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть параллелограмм $ABCD$ задан векторами, выходящими из вершины $A$. Обозначим $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AD} = \vec{d}$. Тогда положение вершин параллелограмма определяется следующими радиус-векторами (считая точку $A$ началом координат):

• $\vec{A} = \vec{0}$
• $\vec{B} = \vec{b}$
• $\vec{D} = \vec{d}$
• $\vec{C} = \vec{b} + \vec{d}$

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна модулю векторного произведения векторов, на которых он построен: $S_{ABCD} = |\vec{b} \times \vec{d}| = 120 \text{ см}^2$.

Точки $M, N, K, P$ являются серединами сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Найдем их радиус-векторы:

• $\vec{M} = \frac{\vec{A}+\vec{B}}{2} = \frac{\vec{0}+\vec{b}}{2} = \frac{1}{2}\vec{b}$
• $\vec{N} = \frac{\vec{B}+\vec{C}}{2} = \frac{\vec{b}+(\vec{b}+\vec{d})}{2} = \frac{2\vec{b}+\vec{d}}{2} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}$
• $\vec{K} = \frac{\vec{C}+\vec{D}}{2} = \frac{(\vec{b}+\vec{d})+\vec{d}}{2} = \frac{\vec{b}+2\vec{d}}{2} = \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{d}$
• $\vec{P} = \frac{\vec{D}+\vec{A}}{2} = \frac{\vec{d}+\vec{0}}{2} = \frac{1}{2}\vec{d}$

Четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ образован пересечением отрезков, соединяющих вершины параллелограмма с серединами противоположных сторон. Стандартная конфигурация для такой задачи (согласно рис. 251, который обычно прилагается к этой задаче) предполагает использование отрезков $AN, BK, CP, DM$. Вершины внутреннего четырехугольника $A_1, B_1, C_1, D_1$ являются точками пересечения этих отрезков.

• $A_1$ — точка пересечения $AN$ и $DM$.
• $B_1$ — точка пересечения $AN$ и $BK$.
• $C_1$ — точка пересечения $BK$ и $CP$.
• $D_1$ — точка пересечения $CP$ и $DM$.

Найдем радиус-вектор точки $A_1$ как точки пересечения $AN$ и $DM$.

Точка на отрезке $AN$ имеет радиус-вектор $\vec{r}_{A_1} = (1-t)\vec{A} + t\vec{N} = t(\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d})$ для некоторого скаляра $t \in [0, 1]$.
Точка на отрезке $DM$ имеет радиус-вектор $\vec{r}_{A_1} = (1-s)\vec{D} + s\vec{M} = (1-s)\vec{d} + s(\frac{1}{2}\vec{b})$ для некоторого скаляра $s \in [0, 1]$.

Приравнивая два выражения для $\vec{r}_{A_1}$ и группируя коэффициенты при неколлинеарных векторах $\vec{b}$ и $\vec{d}$: $t\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{d} = \frac{s}{2}\vec{b} + (1-s)\vec{d}$
Получаем систему уравнений: $\begin{cases} t = \frac{s}{2} \\ \frac{t}{2} = 1-s \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе: $\frac{1}{2}(\frac{s}{2}) = 1-s \Rightarrow \frac{s}{4} = 1-s \Rightarrow s = 4-4s \Rightarrow 5s = 4 \Rightarrow s = \frac{4}{5}$.
Тогда $t = \frac{s}{2} = \frac{4/5}{2} = \frac{2}{5}$.
Радиус-вектор точки $A_1$: $\vec{A_1} = \frac{2}{5}(\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}) = \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{d}$.

В силу симметрии задачи, можно утверждать, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом. Для нахождения его площади нам достаточно найти еще одну его вершину, например $D_1$, которая является точкой пересечения $CP$ и $DM$.

Точка на отрезке $CP$: $\vec{r}_{D_1} = (1-t)\vec{C} + t\vec{P} = (1-t)(\vec{b}+\vec{d}) + t(\frac{1}{2}\vec{d}) = (1-t)\vec{b} + (1-\frac{t}{2})\vec{d}$.
Точка на отрезке $DM$: $\vec{r}_{D_1} = (1-s)\vec{D} + s\vec{M} = (1-s)\vec{d} + s(\frac{1}{2}\vec{b})$.

Приравниваем и получаем систему: $\begin{cases} 1-t = \frac{s}{2} \\ 1-\frac{t}{2} = 1-s \end{cases}$
Из второго уравнения: $\frac{t}{2} = s \Rightarrow t=2s$.
Подставляем в первое: $1-2s = \frac{s}{2} \Rightarrow 1 = \frac{5s}{2} \Rightarrow s = \frac{2}{5}$.
Тогда $t = 2s = \frac{4}{5}$.
Радиус-вектор точки $D_1$: $\vec{D_1} = (1-\frac{2}{5})\vec{d} + \frac{2}{5}(\frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d}$.

Теперь найдем векторы сторон параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$. Так как это параллелограмм, $\vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$ и $\vec{A_1D_1} = \vec{B_1C_1}$. Используя симметрию, можно найти все вершины, но для площади достаточно векторов $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{A_1D_1}$. Однако, мы нашли $A_1$ и $D_1$. Найдем вектор $\vec{A_1D_1}$:

$\vec{A_1D_1} = \vec{D_1} - \vec{A_1} = (\frac{1}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d}) - (\frac{2}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{d}) = -\frac{1}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{d}$.

Для нахождения вектора $\vec{A_1B_1}$ найдем координаты точки $B_1=AN \cap BK$:
Точка на $AN$: $\vec{r}_{B_1} = t(\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d})$
Точка на $BK$: $\vec{r}_{B_1} = (1-s)\vec{B} + s\vec{K} = (1-s)\vec{b} + s(\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{d}) = (1-\frac{s}{2})\vec{b} + s\vec{d}$
Система: $\begin{cases} t = 1-\frac{s}{2} \\ \frac{t}{2} = s \end{cases} \Rightarrow t=2s$.
$2s=1-\frac{s}{2} \Rightarrow \frac{5s}{2}=1 \Rightarrow s=\frac{2}{5}$.
Тогда $t=\frac{4}{5}$.
$\vec{B_1} = \frac{4}{5}(\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}) = \frac{4}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{d}$.

Теперь находим вектор $\vec{A_1B_1}$: $\vec{A_1B_1} = \vec{B_1} - \vec{A_1} = (\frac{4}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{d}) - (\frac{2}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{d}) = \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{d}$.

Площадь параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$ равна модулю векторного произведения его сторон: $S_{A_1B_1C_1D_1} = |\vec{A_1B_1} \times \vec{A_1D_1}| = |(\frac{2}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{d}) \times (-\frac{1}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{d})|$.

Используя свойства векторного произведения ($\vec{b} \times \vec{b} = 0$, $\vec{d} \times \vec{d} = 0$, $\vec{d} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{d}$):
$S_{A_1B_1C_1D_1} = |\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}(\vec{b} \times \vec{d}) + \frac{1}{5} \cdot (-\frac{1}{5})(\vec{d} \times \vec{b})| = |\frac{4}{25}(\vec{b} \times \vec{d}) - \frac{1}{25}(\vec{d} \times \vec{b})| = |\frac{4}{25}(\vec{b} \times \vec{d}) + \frac{1}{25}(\vec{b} \times \vec{d})| = |\frac{5}{25}(\vec{b} \times \vec{d})| = \frac{1}{5}|\vec{b} \times \vec{d}|$.

Таким образом, площадь четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ составляет $\frac{1}{5}$ от площади параллелограмма $ABCD$: $S_{A_1B_1C_1D_1} = \frac{1}{5}S_{ABCD} = \frac{1}{5} \cdot 120 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$.

Ответ: $24 \text{ см}^2$.