Номер 265, страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

265. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$ и отрезок $KM$, параллельный стороне $AC$ $(M \in AB)$; $MB = 6$ см, $BK : KC = 2 : 3$. Найдите:

а) отрезок $AM$;

б) отрезок $MK$.

а) По условию задачи, отрезок $KM$ параллелен стороне $AC$ треугольника $ABC$ ($KM \parallel AC$).

Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает две другие его стороны, то она отсекает от них пропорциональные отрезки. В нашем случае это означает, что точка $M$ на стороне $AB$ и точка $K$ на стороне $BC$ делят эти стороны в одинаковом отношении:

$\frac{BM}{AM} = \frac{BK}{KC}$

Из условия известно, что $MB = 6$ см и $BK : KC = 2 : 3$. Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{6}{AM} = \frac{2}{3}$

Выразим $AM$ из этого уравнения:

$AM = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

б) Рассмотрим углы, образованные биссектрисой $AK$ и параллельными прямыми $KM$ и $AC$.

1. Поскольку $AK$ — биссектриса угла $A$, она делит этот угол пополам:

$∠MAK = ∠KAC$

2. Поскольку $KM \parallel AC$, углы $∠MKA$ и $∠KAC$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $KM$ и $AC$ и секущей $AK$. Следовательно, эти углы равны:

$∠MKA = ∠KAC$

Из этих двух равенств следует, что углы в треугольнике $AMK$ при стороне $AK$ равны:

$∠MAK = ∠MKA$

Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. В треугольнике $AMK$ углы при основании $AK$ равны, значит, боковые стороны $AM$ и $MK$ равны:

$AM = MK$

Из пункта а) мы нашли, что $AM = 9$ см. Следовательно,

$MK = 9$ см.

Ответ: 9 см.