Номер 262, страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

262. На рисунках 246, $a)–в)$ $m \parallel n \parallel k$. Найдите длину отрезка $x$ (все размеры даны в сантиметрах).

$a)$

15, 6, $x$, 8

Линии: $m$, $n$, $k$

$б)$

5, 3, 4, $x$

Линии: $k$, $n$, $m$

$в)$

28, $x$, 35, 40

Линии: $m$, $n$, $k$

Рис. 246

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой Фалеса (теоремой о пропорциональных отрезках). Она гласит, что если параллельные прямые пересекают две произвольные прямые, то они отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.
В данном случае прямые $m$, $n$ и $k$ параллельны. Они пересекают две секущие. На одной секущей отрезки равны 15 и 6. На другой — соответствующие им отрезки равны $x$ и 8.
Составим пропорцию:
$\frac{15}{6} = \frac{x}{8}$
Выразим $x$ из этой пропорции:
$x = \frac{15 \cdot 8}{6} = \frac{120}{6} = 20$
Ответ: 20 см.

Применим ту же теорему о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые $k$, $n$ и $m$ отсекают на двух секущих пропорциональные отрезки. На первой секущей отрезки равны 5 и 3, а на второй — соответствующие им отрезки равны 4 и $x$.
Составим пропорцию:
$\frac{5}{3} = \frac{4}{x}$
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:
$5x = 3 \cdot 4$
$5x = 12$
$x = \frac{12}{5} = 2.4$
Ответ: 2.4 см.

В этом случае секущие пересекаются, но теорема о пропорциональных отрезках всё равно применима. Параллельные прямые (горизонтальные) делят секущие на пропорциональные отрезки. Отрезки на первой секущей равны 28 и $x$. Соответствующие им отрезки на второй секущей равны 35 и 40.
Составим пропорцию:
$\frac{28}{x} = \frac{35}{40}$
Сначала упростим правую часть пропорции:
$\frac{35}{40} = \frac{35 \div 5}{40 \div 5} = \frac{7}{8}$
Теперь пропорция выглядит так:
$\frac{28}{x} = \frac{7}{8}$
Найдем $x$:
$7x = 28 \cdot 8$
$x = \frac{28 \cdot 8}{7} = 4 \cdot 8 = 32$
Ответ: 32 см.