Номер 269, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

269. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, точка $F$ – ее середина. Прямая $CF$ пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Площадь четырехугольника $AKFM$ равна $50 \text{ см}^2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Для решения задачи нам понадобится найти соотношение, в котором точка $K$ делит сторону $AB$, а затем использовать свойства площадей треугольников.

1. Нахождение соотношения $AK:KB$

Для нахождения этого соотношения воспользуемся методом дополнительных построений. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную прямой $CK$, до пересечения со стороной $AB$ в точке $D$. Таким образом, $MD \parallel CK$.

Рассмотрим $\triangle ACK$. По условию, $BM$ - медиана, значит $M$ - середина стороны $AC$. Так как $MD \parallel CK$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии для трапеции, образованной отрезками $CK$ и $MD$ и пересекающими их прямыми), точка $D$ является серединой отрезка $AK$. Следовательно, $AD = DK$.

Теперь рассмотрим $\triangle BMD$. По условию, $F$ - середина стороны $BM$. Так как прямая $CF$ содержит отрезок $FK$, то из $MD \parallel CK$ следует, что $FK \parallel MD$. По теореме Фалеса, если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает на одной стороне равные отрезки, то она отсекает равные отрезки и на другой стороне. Так как $F$ - середина $BM$, то $K$ - середина $BD$. Следовательно, $BK = KD$.

Из полученных равенств $AD = DK$ и $BK = KD$ следует, что $AD = DK = BK$.

Тогда отрезок $AK = AD + DK = 2 \cdot BK$.

Таким образом, точка $K$ делит сторону $AB$ в отношении $AK:KB = 2:1$.

2. Вычисление площади треугольника $ABC$

Пусть $S$ - это искомая площадь треугольника $ABC$, т.е. $S = S_{ABC}$.

Поскольку $BM$ является медианой $\triangle ABC$, она делит его на два треугольника равной площади:

$S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM} = \frac{S_{ABC}}{2} = \frac{S}{2}$.

Точка $F$ - середина медианы $BM$.

В $\triangle ABM$ отрезок $AF$ является медианой, так как он соединяет вершину $A$ с серединой противоположной стороны $BM$. Следовательно, $AF$ делит $\triangle ABM$ на два равновеликих треугольника:

$S_{\triangle AFM} = S_{\triangle AFB} = \frac{S_{\triangle ABM}}{2} = \frac{S/2}{2} = \frac{S}{4}$.

Теперь рассмотрим площадь $\triangle AFB$. Она состоит из площадей $\triangle AKF$ и $\triangle BKF$. Эти два треугольника имеют общую высоту, проведенную из вершины $F$ к стороне $AB$. Значит, отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{\triangle AKF}}{S_{\triangle BKF}} = \frac{AK}{KB} = \frac{2}{1} = 2 \implies S_{\triangle AKF} = 2 \cdot S_{\triangle BKF}$.

Площадь $\triangle AFB$ можно выразить как $S_{\triangle AFB} = S_{\triangle AKF} + S_{\triangle BKF}$. Подставив $S_{\triangle BKF} = S_{\triangle AKF} / 2$, получаем:

$S_{\triangle AFB} = S_{\triangle AKF} + \frac{S_{\triangle AKF}}{2} = \frac{3}{2} S_{\triangle AKF}$.

Мы знаем, что $S_{\triangle AFB} = S/4$, поэтому:

$\frac{S}{4} = \frac{3}{2} S_{\triangle AKF} \implies S_{\triangle AKF} = \frac{S}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{S}{6}$.

Площадь четырехугольника $AKFM$ по условию равна 50 см². Эта площадь складывается из площадей треугольников $AFM$ и $AKF$:

$S_{AKFM} = S_{\triangle AFM} + S_{\triangle AKF}$.

Подставим найденные выражения для площадей через $S$:

$50 = \frac{S}{4} + \frac{S}{6}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$50 = \frac{3S}{12} + \frac{2S}{12} = \frac{5S}{12}$.

Отсюда находим $S$:

$5S = 50 \cdot 12 \implies S = \frac{50 \cdot 12}{5} = 10 \cdot 12 = 120$.

Таким образом, площадь треугольника $ABC$ равна 120 см².

Ответ: 120 см².