Номер 271, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

271. Даны отрезки a и b. Составьте алгоритм построения при помощи циркуля и линейки отрезка x, если $x = \frac{a^2}{b}$.

Для построения отрезка $x$, удовлетворяющего условию $x = \frac{a^2}{b}$, мы воспользуемся обобщенной теоремой Фалеса. Перепишем данное равенство в виде пропорции: $\frac{b}{a} = \frac{a}{x}$ или, что эквивалентно, $\frac{a}{b} = \frac{x}{a}$. Эта пропорция связывает стороны подобных треугольников, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Алгоритм построения искомого отрезка состоит в следующем:

1. Построим произвольный неразвернутый угол с вершиной в точке $O$. Обозначим его стороны как лучи $l_1$ и $l_2$.

2. На луче $l_1$ отложим от вершины $O$ отрезок $OB$, равный по длине данному отрезку $b$.

3. На том же луче $l_1$ отложим от вершины $O$ отрезок $OA$, равный по длине данному отрезку $a$.

4. На втором луче, $l_2$, отложим от вершины $O$ отрезок $OC$, также равный по длине отрезку $a$.

5. Соединим точки $B$ и $C$ при помощи линейки.

6. Через точку $A$ построим прямую, параллельную прямой $BC$. Построение параллельной прямой является стандартной процедурой, выполняемой с помощью циркуля и линейки. Пусть построенная прямая пересечет луч $l_2$ в точке $D$.

7. Отрезок $OD$ является искомым отрезком $x$.

Докажем, что построенный отрезок $OD$ действительно имеет искомую длину. Рассмотрим угол с вершиной $O$ и прямые $BC$ и $AD$, пересекающие его стороны. По построению, прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ ($AD \parallel BC$). Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), треугольники $\triangle OBC$ и $\triangle OAD$ подобны. Из их подобия следует пропорциональность сторон:

$\frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC}$

Подставим в эту пропорцию длины отрезков, которые мы использовали при построении: $|OB| = b$, $|OA| = a$, $|OC| = a$. Длину отрезка $OD$ обозначим как $x$. Получаем:

$\frac{a}{b} = \frac{x}{a}$

Выражая $x$ из этой пропорции, находим: $x \cdot b = a \cdot a \implies x = \frac{a^2}{b}$.

Следовательно, построение выполнено верно, и отрезок $OD$ является искомым.

Ответ: Искомый отрезок $x$ строится по следующему алгоритму: 1. Строится произвольный угол с вершиной $O$. 2. На одной его стороне откладываются отрезки $OB=b$ и $OA=a$ от вершины. 3. На другой стороне откладывается отрезок $OC=a$ от вершины. 4. Через точку $A$ проводится прямая, параллельная отрезку $BC$. 5. Точка пересечения этой прямой со второй стороной угла, назовем ее $D$, образует искомый отрезок $OD=x$.