Тест 2, страница 129 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

Если $EF || AB$, то $AF = ...$

а) 6;

б) 7;

в) 8;

г) 6,5.

По условию задачи отрезок $EF$ параллелен стороне $AB$ ($EF \parallel AB$). Это означает, что треугольник $EFC$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle EFC \sim \triangle ABC$).
Подобие следует из того, что у этих треугольников есть общий угол $C$, а углы $\angle CFE$ и $\angle CAB$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $AC$.
Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:
$\frac{CF}{AC} = \frac{EF}{AB}$
Из чертежа и условия нам известны следующие длины: $EF = 6$, $AB = 9$, $FC = 12$. Длину искомого отрезка $AF$ обозначим за $x$.
Сторона $AC$ состоит из двух отрезков, $AF$ и $FC$, поэтому ее длина равна их сумме: $AC = AF + FC = x + 12$.
Теперь подставим все известные значения в пропорцию:
$\frac{12}{x + 12} = \frac{6}{9}$
Упростим дробь в правой части уравнения: $\frac{6}{9}$ сокращается на 3 и становится $\frac{2}{3}$.
$\frac{12}{x + 12} = \frac{2}{3}$
Решим это уравнение, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$12 \cdot 3 = 2 \cdot (x + 12)$
$36 = 2x + 24$
Перенесем 24 в левую часть уравнения, изменив знак:
$36 - 24 = 2x$
$12 = 2x$
Найдем $x$, разделив обе части на 2:
$x = \frac{12}{2}$
$x = 6$
Следовательно, длина отрезка $AF$ равна 6. Среди предложенных вариантов это ответ а).
Ответ: 6