Номер 268, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

268. В трапеции ABCD (рис. 250) проведены отрезки FP и HT, параллельные основаниям, MK — средняя линия трапеции, $CD = 60 \text{ см}$. Если $MF : FB = 2 : 3$, $MH : HA = 1 : 2$, то чему равна длина отрезка PT?

Puc. 250

Поскольку отрезки $FP$, $MK$ и $HT$ параллельны основаниям трапеции $BC$ и $AD$, по обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), они делят боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ на пропорциональные отрезки. Это означает, что отношение длин отрезков на стороне $AB$ равно отношению длин соответствующих отрезков на стороне $CD$:

$BF : FM : MH : HA = CP : PK : KT : TD$

Найдем соотношение отрезков на стороне $AB$. Точка $M$ — середина боковой стороны $AB$, так как $MK$ — средняя линия трапеции. Следовательно, $AM = MB$.

Из условия $MF : FB = 2 : 3$, мы можем выразить длины этих отрезков через длину отрезка $MB$:$MB = MF + FB$. Значит, $MF = \frac{2}{5} MB$ и $FB = \frac{3}{5} MB$.

Из условия $MH : HA = 1 : 2$, мы можем выразить длины этих отрезков через длину отрезка $AM$:$AM = MH + HA$. Значит, $MH = \frac{1}{3} AM$ и $HA = \frac{2}{3} AM$.

Поскольку $AM = MB$, мы можем выразить все четыре отрезка через одну и ту же величину, например, $MB$:$BF = \frac{3}{5} MB$$FM = \frac{2}{5} MB$$MH = \frac{1}{3} AM = \frac{1}{3} MB$$HA = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} MB$

Теперь найдем отношение длин этих отрезков:$BF : FM : MH : HA = \frac{3}{5} MB : \frac{2}{5} MB : \frac{1}{3} MB : \frac{2}{3} MB$

Умножим все члены отношения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5, то есть на 15, чтобы избавиться от дробей:$(15 \cdot \frac{3}{5}) : (15 \cdot \frac{2}{5}) : (15 \cdot \frac{1}{3}) : (15 \cdot \frac{2}{3}) = 9 : 6 : 5 : 10$.

Следовательно, $CP : PK : KT : TD = 9 : 6 : 5 : 10$.

Общая длина стороны $CD$ равна 60 см. Сумма частей в найденном отношении равна $9 + 6 + 5 + 10 = 30$ частей. Таким образом, на одну часть приходится $60 \text{ см} / 30 = 2$ см.

Теперь можем найти длины отрезков $PK$ и $KT$:$PK = 6 \text{ частей} \cdot 2 \text{ см/часть} = 12$ см.$KT = 5 \text{ частей} \cdot 2 \text{ см/часть} = 10$ см.

Длина отрезка $PT$ равна сумме длин отрезков $PK$ и $KT$:$PT = PK + KT = 12 \text{ см} + 10 \text{ см} = 22$ см.

Ответ: 22 см.