Номер 261, страница 125 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

261. Даны два отрезка: $a = 3 \text{ см}$, $b = 4 \text{ см}$. Какие из следующих пар отрезков пропорциональны отрезкам $a$ и $b$:

а) $m = 6 \text{ мм}$, $n = 8 \text{ мм}$;

б) $c = 1\frac{1}{2} \text{ км}$, $p = 2 \text{ км}$;

в) $k = 9 \text{ см}$, $p = 16 \text{ см}$;

г) $l = 3,6 \text{ м}$, $g = 180 \text{ см}$?

Два отрезка $x$ и $y$ считаются пропорциональными двум другим отрезкам $a$ и $b$, если отношение длин первой пары равно отношению длин второй пары, то есть выполняется равенство: $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$.

В данной задаче нам даны отрезки $a = 3$ см и $b = 4$ см. Сначала найдем их отношение: $$ \frac{a}{b} = \frac{3 \text{ см}}{4 \text{ см}} = \frac{3}{4} $$ Теперь, чтобы определить, пропорциональна ли какая-либо пара отрезков отрезкам $a$ и $b$, мы должны проверить, равно ли их отношение $\frac{3}{4}$. Важно помнить, что при нахождении отношения длины отрезков должны быть выражены в одинаковых единицах измерения.

а) $m = 6$ мм, $n = 8$ мм;

Длины отрезков $m$ и $n$ уже даны в одинаковых единицах (миллиметрах). Найдем их отношение: $$ \frac{m}{n} = \frac{6 \text{ мм}}{8 \text{ мм}} = \frac{6}{8} $$ Сократим полученную дробь на 2: $$ \frac{6}{8} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{3}{4} $$ Поскольку отношение $\frac{m}{n}$ равно отношению $\frac{a}{b}$ ($ \frac{3}{4} = \frac{3}{4} $), данная пара отрезков пропорциональна отрезкам $a$ и $b$.
Ответ: да, пропорциональны.

б) $c = 1\frac{1}{2}$ км, $p = 2$ км;

Длины отрезков $c$ и $p$ даны в километрах. Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в десятичную дробь: $1\frac{1}{2} = 1,5$. Теперь найдем отношение их длин: $$ \frac{c}{p} = \frac{1,5 \text{ км}}{2 \text{ км}} = \frac{1,5}{2} $$ Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $$ \frac{1,5 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} $$ Отношение $\frac{c}{p}$ равно отношению $\frac{a}{b}$ ($ \frac{3}{4} = \frac{3}{4} $), следовательно, эта пара отрезков также пропорциональна отрезкам $a$ и $b$.
Ответ: да, пропорциональны.

в) $k = 9$ см, $p = 16$ см;

Отрезки $k$ и $p$ даны в сантиметрах. Найдем их отношение: $$ \frac{k}{p} = \frac{9 \text{ см}}{16 \text{ см}} = \frac{9}{16} $$ Сравним полученное отношение с отношением отрезков $a$ и $b$: $$ \frac{9}{16} \neq \frac{3}{4} $$ Это неравенство верно, так как если привести дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 16, мы получим $\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{12}{16}$. Таким образом, эта пара отрезков не пропорциональна отрезкам $a$ и $b$.
Ответ: нет, не пропорциональны.

г) $l = 3,6$ м, $g = 180$ см?

Отрезки $l$ и $g$ даны в разных единицах измерения. Приведем их к общей единице — сантиметрам. Учитывая, что $1$ м $= 100$ см, переведем длину отрезка $l$: $$ l = 3,6 \text{ м} = 3,6 \cdot 100 \text{ см} = 360 \text{ см} $$ Теперь, когда обе длины выражены в сантиметрах ($l = 360$ см, $g = 180$ см), найдем их отношение: $$ \frac{l}{g} = \frac{360 \text{ см}}{180 \text{ см}} = 2 $$ Сравним полученное отношение с отношением отрезков $a$ и $b$: $$ 2 \neq \frac{3}{4} $$ Следовательно, эта пара отрезков не является пропорциональной отрезкам $a$ и $b$.
Ответ: нет, не пропорциональны.