Номер 263, страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

263. На рисунке 247 отрезки $MN$ и $PK$ параллельны отрезку $BC$.

Найдите:

а) отрезки $AN$ и $KC$;

б) периметр треугольника $ABC$ (все размеры даны в сантиметрах).

Рис. 247

а) отрезки AN и KC;

Согласно условию задачи, отрезки $MN$ и $PK$ параллельны отрезку $BC$. Это означает, что все три отрезка параллельны друг другу: $MN \parallel PK \parallel BC$.

Рассмотрим угол $BAC$, стороны которого пересекаются параллельными прямыми $MN$ и $PK$. Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Следовательно, отношение отрезков на стороне $AB$ равно отношению соответствующих отрезков на стороне $AC$.

Запишем пропорцию для отрезков, отсекаемых прямыми $MN$ и $PK$:

$\frac{AM}{MP} = \frac{AN}{NK}$

Из рисунка и условия нам известны длины: $AM = 4$, $MP = 6$, $NK = 9$. Обозначим искомую длину отрезка $AN$ через $x$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{4}{6} = \frac{x}{9}$

Выразим $x$ из этого уравнения:

$x = \frac{4 \cdot 9}{6} = \frac{36}{6} = 6$

Таким образом, длина отрезка $AN$ составляет 6 см.

Теперь найдем длину отрезка $KC$. Используем ту же теорему для отрезков, отсекаемых параллельными прямыми $PK$ и $BC$.

$\frac{MP}{PB} = \frac{NK}{KC}$

Нам известны длины: $MP = 6$, $PB = 3$, $NK = 9$. Обозначим искомую длину отрезка $KC$ через $y$.

Подставим значения в пропорцию:

$\frac{6}{3} = \frac{9}{y}$

$2 = \frac{9}{y}$

Выразим $y$:

$y = \frac{9}{2} = 4,5$

Таким образом, длина отрезка $KC$ составляет 4,5 см.

Ответ: $AN = 6$ см, $KC = 4,5$ см.

б) периметр треугольника ABC;

Периметр треугольника $ABC$ вычисляется как сумма длин всех его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Для вычисления периметра найдем длины сторон $AB$ и $AC$, используя данные из условия и результаты из пункта а).

1. Длина стороны $AB$ складывается из длин отрезков $AM$, $MP$ и $PB$:

$AB = AM + MP + PB = 4 + 6 + 3 = 13$ см.

2. Длина стороны $AC$ складывается из длин отрезков $AN$, $NK$ и $KC$. Мы уже нашли, что $AN = 6$ см и $KC = 4,5$ см:

$AC = AN + NK + KC = 6 + 9 + 4,5 = 19,5$ см.

3. Длина стороны $BC$ дана в условии:

$BC = 11,5$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр треугольника $ABC$:

$P_{ABC} = 13 + 11,5 + 19,5 = 13 + 31 = 44$ см.

Ответ: периметр треугольника $ABC$ равен 44 см.