Номер 284, страница 132 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

284. Дана трапеция $ABCD$. Точка $K$ принадлежит боковой стороне $AB$, точка $P$ — боковой стороне $CD$, $KP \parallel AD$; $BC = 4$ см, $AD = 11$ см, $KP = 6$ см. Найдите отношение $CP : PD$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, $AD || BC$. Точки $K$ и $P$ лежат на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно, причем отрезок $KP$ параллелен основаниям трапеции, то есть $KP || AD$.

Известны длины: $BC = 4$ см, $AD = 11$ см, $KP = 6$ см. Требуется найти отношение $CP : PD$.

Для решения задачи воспользуемся дополнительным построением. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает отрезок $KP$ в точке $M$ и основание $AD$ в точке $N$.

Рассмотрим полученные фигуры. Поскольку $AB || CN$ (по построению) и $BC || AN$ (так как $BC || AD$), четырехугольник $ABCN$ является параллелограммом. Из свойства параллелограмма следует, что противоположные стороны равны: $AN = BC = 4$ см.

Теперь рассмотрим четырехугольник $KBCM$. В нем стороны $BC$ и $KM$ параллельны, так как они лежат на параллельных прямых $BC$ и $KP$. Стороны $KB$ и $MC$ также параллельны, так как они лежат на параллельных прямых $AB$ и $CN$. Следовательно, $KBCM$ — это параллелограмм. Отсюда следует, что $KM = BC = 4$ см.

Зная длину $KP$ и $KM$, мы можем найти длину отрезка $MP$:$MP = KP - KM = 6 - 4 = 2$ см.

Также найдем длину отрезка $ND$ на основании $AD$:$ND = AD - AN = 11 - 4 = 7$ см.

Рассмотрим треугольник $\Delta CND$. Так как отрезок $MP$ параллелен стороне $ND$ (поскольку $KP || AD$), то треугольник $\Delta CMP$ подобен треугольнику $\Delta CND$. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:$\frac{CP}{CD} = \frac{MP}{ND}$

Пусть искомое отношение $\frac{CP}{PD} = x$. Выразим отношение $\frac{CP}{CD}$ через $x$. Так как $CD = CP + PD$, то$\frac{CP}{CD} = \frac{CP}{CP + PD}$Разделим числитель и знаменатель на $PD$:$\frac{CP}{CD} = \frac{CP/PD}{CP/PD + PD/PD} = \frac{x}{x+1}$

Теперь подставим известные значения и полученное выражение в пропорцию из подобия треугольников:$\frac{x}{x+1} = \frac{2}{7}$

Решим это уравнение относительно $x$:$7x = 2(x+1)$$7x = 2x + 2$$5x = 2$$x = \frac{2}{5}$

Таким образом, отношение $CP : PD = 2 : 5$.

Ответ: $2:5$.