Тест 1, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

ABCD — трапеция. По какому признаку $\triangle BOC \sim \triangle DOA$?

По условию, $ABCD$ — трапеция. Это означает, что две ее стороны параллельны. Из рисунка видно, что основаниями трапеции являются $BC$ и $AD$, следовательно, прямые, содержащие эти основания, параллельны: $BC \parallel AD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. Чтобы доказать их подобие, мы можем использовать один из признаков подобия треугольников. Наиболее подходящим здесь является признак подобия по двум углам.

Найдем равные углы в этих треугольниках:

1. Углы $\angle BCO$ и $\angle DAO$ являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых $BC$ и $AD$ секущей $AC$. Следовательно, $\angle BCO = \angle DAO$.

2. Углы $\angle CBO$ и $\angle ADO$ являются накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых $BC$ и $AD$ секущей $BD$. Следовательно, $\angle CBO = \angle ADO$.

Поскольку два угла треугольника $\triangle BOC$ (а именно $\angle BCO$ и $\angle CBO$) соответственно равны двум углам треугольника $\triangle DOA$ ($\angle DAO$ и $\angle ADO$), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Также можно было использовать другую пару углов: углы $\angle BOC$ и $\angle DOA$ равны как вертикальные. Взяв любую из пар накрест лежащих углов и пару вертикальных углов, мы также приходим к выводу о подобии по двум углам.

Ответ: Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам (первый признак подобия), так как их углы при основаниях трапеции равны как накрест лежащие при параллельных прямых, а углы при вершине $O$ равны как вертикальные.