Номер 291, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

291. Найдите, при какой длине стороны $A_1C_1$ треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ будут подобны (рис. 274). Укажите признак подобия.

Рис. 274

Для того чтобы треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ были подобны, можно применить второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

В треугольнике $ABC$ нам даны стороны $AB = 12$, $AC = 10$ и угол между ними $\angle A = 50^\circ$.

В треугольнике $A_1B_1C_1$ нам дана сторона $A_1B_1 = 6$ и угол $\angle A_1 = 50^\circ$. Мы ищем длину стороны $A_1C_1$.

Условие равенства углов между сторонами выполняется, так как $\angle A = \angle A_1 = 50^\circ$.

Теперь проверим условие пропорциональности сторон. Соответствующими сторонами являются $AB$ и $A_1B_1$, а также $AC$ и $A_1C_1$. Для подобия треугольников должно выполняться равенство:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$

Подставим известные значения в эту пропорцию:

$\frac{12}{6} = \frac{10}{A_1C_1}$

Упростим левую часть уравнения:

$2 = \frac{10}{A_1C_1}$

Отсюда выразим неизвестную сторону $A_1C_1$:

$A_1C_1 = \frac{10}{2}$

$A_1C_1 = 5$

Таким образом, при длине стороны $A_1C_1$ равной 5, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ будут подобны.

Признак подобия, который мы использовали, — это подобие по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними.

Ответ: Длина стороны $A_1C_1$ должна быть равна 5. Треугольники будут подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).