Номер 292, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

292. Какие из треугольников, изображенных на рисунке 275, подобны и почему?

Рис. 275

Для того чтобы определить, какие из треугольников подобны, необходимо проверить выполнение одного из признаков подобия треугольников. Поскольку для всех трёх треугольников известны длины всех сторон, мы можем использовать третий признак подобия: по трём сторонам.

Третий признак подобия треугольников: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответственным сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Выпишем длины сторон каждого треугольника:

• Треугольник ABC: стороны $AB=4$, $AC=4$, $BC=3$.
• Треугольник EFG: стороны $EG=3$, $FG=3$, $EF=2$.
• Треугольник MNK: стороны $MN=6$, $MK=6$, $NK=4$.

Все три треугольника являются равнобедренными. При проверке на подобие будем сравнивать отношения длин их оснований и боковых сторон.

Сравнение треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle EFG $

Составим отношения длин соответственных сторон (основания к основанию и боковой стороны к боковой стороне):
Отношение оснований: $ \frac{BC}{EF} = \frac{3}{2} $
Отношение боковых сторон: $ \frac{AB}{EG} = \frac{4}{3} $
Поскольку $ \frac{3}{2} \neq \frac{4}{3} $, стороны не пропорциональны. Следовательно, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle EFG $ не подобны.

Сравнение треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle MNK $

Составим отношения длин соответственных сторон:
Отношение оснований: $ \frac{BC}{NK} = \frac{3}{4} $
Отношение боковых сторон: $ \frac{AB}{MN} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $
Поскольку $ \frac{3}{4} \neq \frac{2}{3} $, стороны не пропорциональны. Следовательно, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle MNK $ не подобны.

Сравнение треугольников $ \triangle EFG $ и $ \triangle MNK $

Составим отношения длин соответственных сторон:
Отношение оснований: $ \frac{EF}{NK} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
Отношение боковых сторон: $ \frac{EG}{MN} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $
Отношение вторых боковых сторон: $ \frac{FG}{MK} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $
Все отношения равны: $ \frac{EF}{NK} = \frac{EG}{MN} = \frac{FG}{MK} = \frac{1}{2} $.

Так как стороны треугольника $ \triangle EFG $ пропорциональны соответственным сторонам треугольника $ \triangle MNK $, то эти треугольники подобны по третьему признаку. Коэффициент подобия $ k = \frac{1}{2} $.

Ответ: Подобными являются треугольники EFG и MNK ($ \triangle EFG \sim \triangle MNK $). Они подобны по третьему признаку подобия (по трём сторонам), так как их соответственные стороны пропорциональны: $ \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{3}{6} $.